ม.4 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~38 นาที

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ลอการิทึมคือ การถามกลับของเลขยกกำลัง — “ต้องยกกำลังเท่าไรถึงจะได้เลขนี้” ใช้จัดการกับตัวเลขที่โตแบบทวีคูณหรือสลายตัวอย่างรวดเร็ว เช่น ดอกเบี้ยทบต้น ความเข้มเสียง แผ่นดินไหว

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · รากที่ n เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (สายเพิ่มเติม ม.4 — หลักสูตรฉบับก่อนปรับปรุงจัดเรื่องนี้ไว้ที่ ม.5)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกความหมายของรากที่ $n$ และเงื่อนไขที่ทำให้หาค่าในระบบจำนวนจริงได้
✓ใช้สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะได้
✓แปลงระหว่างรูปเลขยกกำลังกับรูปลอการิทึมได้
✓บอกลักษณะกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม และความเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้
✓ใช้สมบัติของลอการิทึมในการย่อและกระจายนิพจน์ได้
✓แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมอย่างง่ายได้ รวมถึงกรณีที่ทำฐานให้เท่ากันไม่ได้

📑 หัวข้อในบทนี้

8.1 รากที่ $n$ และเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ
8.2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลกำลังตรวจทาน
8.3 ลอการิทึมคืออะไรกำลังตรวจทาน
8.4 ฟังก์ชันลอการิทึมกำลังตรวจทาน
8.5 สมบัติของลอการิทึมกำลังตรวจทาน
8.6 การแก้สมการกำลังตรวจทาน
8.7 การนำไปใช้กำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลอการิทึมlogarithm

เลขชี้กำลังที่ต้องใช้ยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ

ฐานbase

จำนวนที่ถูกยกกำลัง — ฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1

เอกซ์โพเนนเชียลexponential

ฟังก์ชันที่ตัวแปรอยู่ตรงตำแหน่งเลขชี้กำลัง เช่น $y = 2^{x}$

ลอการิทึมธรรมชาติnatural logarithm

ลอการิทึมฐาน $e \approx 2.718$ เขียนย่อว่า $ln$

คำตอบแปลกปลอมextraneous root

ค่าที่ได้จากการแก้สมการแต่แทนกลับแล้วใช้ไม่ได้ ต้องตัดทิ้ง

8.1 รากที่ $n$ และเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ

นิยามรากที่ $n$ (ต่อจากรากที่สองและรากที่สามใน ม.2)

n a = b ⟺ b^{n} = a (และ b \geq 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่)

$n$ เป็นจำนวนนับตั้งแต่ $2$ ขึ้นไป และบอกว่าเป็น "รากที่เท่าไร" · $a$ คือจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายราก · เงื่อนไข $b \geq 0$ จำเป็นเพราะ $(- 2)^{4} = 16$ เหมือนกัน ถ้าไม่กำกับไว้ $416$ จะมีสองคำตอบ (เป็นเงื่อนไขเดียวกับรากที่สองใน ม.2)

$n$	เงื่อนไขของ $a$	ตัวอย่าง
คู่	$a \geq 0$ เท่านั้น	$416 = 2$ · $- 9$ ไม่มีค่าจริง
คี่	เป็นจำนวนจริงใดก็ได้	$327 = 3$ · $3 - 8 = - 2$

หาค่าได้เมื่อไร — ขึ้นกับว่า $n$ เป็นคู่หรือคี่

รากเขียนเป็นเลขยกกำลังได้ (ใช้เมื่อ $a > 0$ )

a^{\frac{1}{n}} = n a a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}

ข้อตกลงนี้ใช้กับ ฐานที่เป็นบวก เท่านั้น ถ้าปล่อยให้ฐานติดลบจะได้ผลขัดกันเอง เช่น $(- 4)^{\frac{2}{2}} = (- 4)^{1} = - 4$ แต่ $(- 4)^{2} = 16 = 4$

⚠️ทำไมต้องบังคับ $a > 0$

ถ้าฝืนใช้กฎนี้กับฐานติดลบจะขัดกันเอง — $(- 8)^{\frac{1}{3}} = 3 - 8 = - 2$ แต่ $(- 8)^{\frac{2}{6}} = 6 (- 8)^{2} = 664 = 2$ ทั้งที่ $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ เป็นเลขชี้กำลังตัวเดียวกัน · เลขตัวเดียวกันให้สองคำตอบไม่ได้ ตำราจึงตัดปัญหาด้วยการตั้งเงื่อนไข $a > 0$ ไว้ตั้งแต่ต้น

•สมบัติของเลขยกกำลังจาก ม.2 ยังใช้ได้เหมือนเดิมเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม (ฐานติดลบก็ยังได้ เช่น $(- 2)^{3} = - 8$ ) · แต่พอขยายเป็นเลขชี้กำลังตรรกยะ ต้องบังคับให้ ฐานเป็นบวก ด้วย
• $a^{\frac{1}{2}} = a$ · $a^{\frac{1}{3}} = 3 a$
•ตัวส่วนของเลขชี้กำลังบอกว่าเป็น รากที่เท่าไร · ตัวเศษคือ กำลัง

สมบัติ	สูตร
คูณฐานเดียวกัน	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
หารฐานเดียวกัน	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
ยกกำลังซ้อน	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
กระจายเข้าผลคูณ	$(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$
เลขชี้กำลังลบ	$a^{- m} = \frac{1}{a ^{m}}$

สมบัติที่ใช้บ่อย (ให้ $a, b > 0$ และ $m, n$ เป็นจำนวนตรรกยะ)

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $8^{\frac{2}{3}}$ และ $1 6^{- \frac{1}{2}}$

ขั้นที่ 1 $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$
ขั้นที่ 2 $1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 6 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

ตอบ $4$ และ $\frac{1}{4}$

💡 ถอดรากก่อน แล้วค่อยยกกำลัง จะได้เลขเล็กกว่ามาก — $3 8^{2} = 364$ ก็ได้ $4$ เหมือนกันแต่คิดยากกว่า

✏️ตัวอย่าง

ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย (ให้ $a > 0$ ): $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}$ · $\frac{a ^{\frac{3}{4}}}{a ^{\frac{1}{4}}}$ · $(a^{\frac{2}{3}})^{6}$

ขั้นที่ 1คูณฐานเดียวกัน → บวกเลขชี้กำลัง: $a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$
ขั้นที่ 2หารฐานเดียวกัน → ลบเลขชี้กำลัง: $a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = a$
ขั้นที่ 3ยกกำลังซ้อน → คูณเลขชี้กำลัง: $a^{\frac{2}{3} \times 6} = a^{4}$

ตอบ $a^{\frac{5}{6}}$ · $a$ · $a^{4}$

💡 เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนก็บวกลบคูณกันตามกฎเศษส่วนตามปกติ — ทำ ค.ร.น. ของตัวส่วนก่อนบวก แล้วทอนผลลัพธ์เป็นอย่างต่ำเสมอ

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 7 หัวข้อ — อีก 6 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด