ม.4 · เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~52 นาที

เรขาคณิตวิเคราะห์

เอาพีชคณิตมาแก้ปัญหาเรขาคณิต — แทนที่จะวาดแล้ววัด เราคำนวณจากพิกัดได้เลย ทั้งระยะทาง ความชัน สมการเส้นตรง วงกลม และภาคตัดกรวยอีกสามรูป คือ พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · ระยะทาง ความชัน เส้นตรง วงกลม และภาคตัดกรวย (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาระยะระหว่างจุดสองจุด และหาจุดกึ่งกลางของจุดสองจุดได้
✓หาความชันและเขียนสมการเส้นตรงในรูปต่างๆ ได้
✓ตรวจสอบเส้นขนานและเส้นตั้งฉากจากความชันได้
✓หาระยะจากจุดถึงเส้นตรงได้
✓เขียนและอ่านสมการวงกลมได้
✓บอกได้ว่าเส้นตรงกับวงกลมตัดกัน สัมผัสกัน หรือไม่ตัดกัน
✓หาระยะระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้
✓ใช้พิกัดตรวจสอบสมบัติทางเรขาคณิต เช่น ชนิดของรูปสามเหลี่ยม และจุดที่อยู่บนเส้นเดียวกันได้
✓บอกได้ว่าภาคตัดกรวยทั้งสี่รูปเกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบอย่างไร และจำแนกชนิดจากสมการได้
✓หาจุดโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา และเขียนสมการจากเงื่อนไขที่กำหนดได้
✓หาแกนเอก แกนโท และจุดโฟกัสของวงรีได้
✓หาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาได้

📑 หัวข้อในบทนี้

7.1 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง
7.2 ความชันกำลังตรวจทาน
7.3 สมการเส้นตรงกำลังตรวจทาน
7.4 ระยะจากจุดถึงเส้นตรงกำลังตรวจทาน
7.5 สมการวงกลมกำลังตรวจทาน
7.6 ใช้ระยะตั้งฉาก — เส้นตรงกับวงกลม และเส้นขนานกำลังตรวจทาน
7.7 ใช้พิกัดตรวจสมบัติทางเรขาคณิตกำลังตรวจทาน
7.8 ภาคตัดกรวยคืออะไรกำลังตรวจทาน
7.9 พาราโบลากำลังตรวจทาน
7.10 วงรีกำลังตรวจทาน
7.11 ไฮเพอร์โบลากำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ความชันslope

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ต่อ $x$ เขียนแทนด้วย $m$

จุดกึ่งกลางmidpoint

จุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสองจุด

จุดศูนย์กลางcenter

จุดที่อยู่ห่างจากทุกจุดบนวงกลมเป็นระยะเท่ากัน

รัศมีradius

ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงจุดใดๆ บนวงกลม เขียนแทนด้วย $r$

ระยะตั้งฉากperpendicular distance

ระยะที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง วัดตามแนวตั้งฉาก

ภาคตัดกรวยconic section

รูปที่ได้จากการตัดกรวยด้วยระนาบ — วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา

จุดโฟกัสfocus

จุดคงที่ที่ใช้ในนิยามเชิงระยะของภาคตัดกรวย — อยู่ข้างในส่วนโค้ง ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง

ไดเรกตริกซ์directrix

เส้นคงที่ของพาราโบลา — ทุกจุดบนพาราโบลาห่างจากเส้นนี้เท่ากับห่างจากโฟกัส

แกนเอก / แกนโทmajor / minor axis

แกนยาวและแกนสั้นของวงรี · โฟกัสอยู่บนแกนเอกเสมอ

เส้นกำกับasymptote

เส้นตรงที่กิ่งของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เรื่อยๆ แต่ไม่มีวันแตะ

7.1 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

ระยะระหว่างจุด (มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

จุดกึ่งกลาง (คือค่าเฉลี่ยของพิกัด)

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

✏️ตัวอย่าง

หาระยะระหว่าง $A (- 2, 3)$ กับ $B (4, 11)$ และจุดกึ่งกลางของ $A B$

ขั้นที่ 1 $d = (4 - (- 2))^{2} + (11 - 3)^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
ขั้นที่ 2 $= 36 + 64 = 100 = 10$
ขั้นที่ 3 $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{3 + 11}{2}) = (1, 7)$

ตอบ $d = 10$ · $M = (1, 7)$

💡 ระยะทางไม่มีทางติดลบ (เป็น $0$ ได้เมื่อเป็นจุดเดียวกัน) — จะเอา $x_{2} - x_{1}$ หรือ $x_{1} - x_{2}$ ก็ได้ เพราะยกกำลังสองแล้วเหมือนกัน

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 11 หัวข้อ — อีก 10 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และความชัน →ฝึกโจทย์ สมการเส้นตรง วงกลม และระยะตั้งฉาก →ฝึกโจทย์ ภาคตัดกรวย (พาราโบลา · วงรี · ไฮเพอร์โบลา) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด