อนุกรมตัวเลข — 7 แบบรูปที่เจอบ่อย และลำดับขั้นที่ควรลองไล่

โจทย์อนุกรมตัวเลขทำให้คนเสียเวลามากที่สุดข้อหนึ่ง เพราะคนส่วนใหญ่ จ้องตัวเลขแล้วรอให้คำตอบผุดขึ้นมาเอง

ความจริงมันมีลำดับการตรวจที่ชัดเจน ถ้าไล่ตามลำดับนี้ โจทย์เกือบทั้งหมดจะแตกภายในสามสิบวินาที

ขั้นตอนที่ควรไล่ทุกครั้ง

1. หาผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกัน — คงที่ไหม
2. ถ้าไม่คงที่ หาผลต่างของผลต่างอีกชั้น — คงที่ไหม
3. ลองหารกันดู — ได้ค่าคงที่ไหม
4. ถ้ายังไม่เข้า ดูว่าตัวเลขโตเร็วมากหรือเปล่า — อาจเป็นกำลังสองหรือกำลังสาม
5. ถ้าตัวเลขขึ้นๆ ลงๆ — น่าจะเป็นสองลำดับสลับกัน
6. ดูว่าพจน์หนึ่งเกิดจากสองพจน์ก่อนหน้าไหม

เขียนผลต่างลงบนกระดาษเสมอ อย่าคิดในหัว การเห็นแถวตัวเลขผลต่างด้วยตาทำให้แบบรูปโผล่มาเองบ่อยมาก

แบบที่ 1 ผลต่างคงที่

$$5,9,13,17,?$$

ผลต่างคือ 4 ทุกคู่ พจน์ถัดไปคือ 21 นี่คือลำดับเลขคณิตธรรมดา เจอบ่อยในข้อแรกๆ ของชุด

แบบที่ 2 ผลต่างของผลต่างคงที่

$$2,5,10,17,?$$

ผลต่างคือ 3, 5, 7 ซึ่งไม่คงที่ แต่ผลต่างของผลต่างคือ 2 คงที่ ผลต่างถัดไปจึงเป็น 9 และคำตอบคือ 26

อีกมุมหนึ่ง ลำดับนี้คือ $n^2+1$ พอดี แบบรูปชั้นสองมักซ่อนสูตรกำลังสองไว้ข้างใน

แบบที่ 3 คูณด้วยค่าคงที่

$$3,6,12,24,?$$

หารกันได้ 2 ทุกคู่ คำตอบคือ 48

สัญญาณที่บอกว่าน่าจะเป็นแบบคูณคือ ตัวเลขโตเร็วผิดปกติ ถ้าพจน์สุดท้ายใหญ่กว่าพจน์แรกหลายเท่าตัว ให้ลองหารก่อนลบ

แบบที่ 4 คูณแล้วบวก

$$2,5,11,23,?$$

หารไม่ลงตัวสวย ลบก็ไม่คงที่ (3, 6, 12) แต่สังเกตว่าผลต่างคูณสองทุกครั้ง หรือมองอีกแบบคือ แต่ละพจน์เกิดจากพจน์ก่อนหน้าคูณสองแล้วบวกหนึ่ง คำตอบคือ 47

แบบนี้เจอบ่อยในข้อที่ตั้งใจให้ยาก ให้ลองสูตร "คูณแล้วบวก" เมื่อผลต่างเพิ่มเป็นเท่าตัว

แบบที่ 5 สองลำดับสลับกัน

$$4,20,8,17,12,14,?$$

ดูรวมๆ แล้วไม่มีระเบียบ แต่ถ้าแยกตำแหน่งคี่กับตำแหน่งคู่ออกจากกัน

• ตำแหน่งคี่: 4, 8, 12 เพิ่มทีละ 4
• ตำแหน่งคู่: 20, 17, 14 ลดทีละ 3

พจน์ถัดไปอยู่ตำแหน่งคี่ จึงเป็น 16

สัญญาณที่บอกว่าเป็นแบบนี้คือ ตัวเลขขึ้นๆ ลงๆ สลับกัน หรือมีจำนวนพจน์มากผิดปกติ (หกเจ็ดพจน์ขึ้นไป)

แบบที่ 6 กำลังสองหรือกำลังสามที่ถูกขยับ

$$0,7,26,63,?$$

ตัวเลขโตเร็วมากแต่หารกันไม่ลงตัว ลองเทียบกับกำลังสาม: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$

ทุกพจน์คือกำลังสามลบหนึ่งพอดี คำตอบคือ $5^3-1=124$

ให้จำตารางนี้ไว้ในหัว เพราะใช้เทียบได้เร็ว

แบบที่ 7 พจน์ใหม่มาจากสองพจน์ก่อนหน้า

$$1,1,2,3,5,8,?$$

แต่ละพจน์คือผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้า คำตอบคือ 13

แบบนี้จะดูเหมือนไม่มีกฎเลยถ้าไล่แค่ผลต่างกับผลหาร ให้ลองบวกสองพจน์ก่อนหน้าเป็นขั้นสุดท้ายเสมอ

กับดักที่ทำให้ตอบผิดทั้งที่หาแบบรูปเจอ

1. หาแบบรูปเจอแล้วตอบพจน์ผิดตำแหน่ง โจทย์บางข้อเว้นช่องว่างไว้ตรงกลาง ไม่ใช่ท้ายสุด อ่านให้ชัดว่าถามพจน์ไหน
2. เจอแบบรูปที่ใช้ได้กับแค่สามพจน์แรก ต้องตรวจให้ครบทุกพจน์ที่โจทย์ให้มา ถ้าใช้ได้แค่บางคู่แปลว่ายังไม่ใช่
3. ลืมว่าผลต่างติดลบก็เป็นแบบรูปได้ ลำดับที่ลดลงใช้หลักเดียวกันทุกอย่าง
4. รีบเกินไปกับข้อที่ไม่แตก ถ้าไล่ครบหกขั้นแล้วยังไม่เข้า ให้ข้ามไปทำข้ออื่นก่อน อนุกรมหนึ่งข้อมีค่าเท่ากับข้ออื่นทุกข้อ

ฝึกให้ไวขึ้น

แบบรูปพวกนี้ต้องเจอซ้ำจนตาจับได้เอง อ่านอย่างเดียวไม่พอ

• ฝึกอนุกรมตัวเลข — โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง เลือกระดับความยากได้
• จำลองสนามสอบจับเวลา — ลองในสภาพที่มีเวลาจำกัดจริง