สรุปสูตรลำดับและอนุกรม ครบทั้งแบบจำกัดและอนันต์

18 กันยายน 2569 · อ่าน ~4 นาที · โดย ทีมงานเก่งดี

รวมสูตรลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ผลบวก n พจน์แรก อนุกรมอนันต์ และสัญลักษณ์ซิกมา พร้อมวิธีดูออกว่าโจทย์เป็นลำดับแบบไหนภายในสิบวินาที

โจทย์ลำดับและอนุกรมเกือบทั้งหมดแก้ได้ถ้าตอบสองคำถามนี้ได้ก่อน: ลำดับนี้เป็นแบบไหน และโจทย์ถามหาพจน์เดียวหรือผลบวก

เมื่อตอบสองข้อนี้ได้ สูตรที่ต้องใช้จะเหลือแค่ตัวเดียว

ขั้นแรก ดูให้ออกว่าเป็นลำดับแบบไหน

เอาพจน์ที่อยู่ติดกันมาเทียบกัน

ทดสอบ	ผลลัพธ์	แปลว่า
พจน์หลัง ลบ พจน์หน้า	ได้ค่าเท่ากันทุกคู่	ลำดับเลขคณิต ผลต่างร่วม $d$
พจน์หลัง หาร พจน์หน้า	ได้ค่าเท่ากันทุกคู่	ลำดับเรขาคณิต อัตราส่วนร่วม $r$
ทั้งสองอย่างไม่คงที่	ต้องมองหาแบบรูปอื่น	เช่น กำลังสอง หรือผลต่างของผลต่าง

ตัวอย่าง ลำดับ 3, 7, 11, 15 ผลต่างคือ 4 เท่ากันทุกคู่ จึงเป็นเลขคณิตที่ $d = 4$

ส่วน 2, 6, 18, 54 ผลต่างไม่เท่ากัน แต่หารกันได้ 3 เท่ากันทุกคู่ จึงเป็นเรขาคณิตที่ $r = 3$

ลำดับเลขคณิต

พจน์ทั่วไป

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

ผลบวก $n$ พจน์แรก เขียนได้สองแบบ ใช้ตัวที่ตรงกับข้อมูลที่โจทย์ให้

$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) หรือ S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$

แบบแรกใช้เมื่อรู้พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แบบที่สองใช้เมื่อรู้พจน์แรกกับผลต่างร่วม

ที่มาของสูตรผลบวกน่าจำมาก: เขียนผลบวกสองรอบ รอบหนึ่งเรียงหน้าไปหลัง อีกรอบเรียงหลังมาหน้า แล้วบวกกันทีละคู่ จะได้ $(a_{1} + a_{n})$ เท่ากันทุกคู่ ทั้งหมด $n$ คู่ แล้วหารสองเพราะบวกซ้ำสองรอบ

ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไป

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

ผลบวก $n$ พจน์แรก เมื่อ $r \neq = 1$

$S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$

ถ้า $r = 1$ ทุกพจน์เท่ากันหมด ผลบวกจึงเป็น $S_{n} = n a_{1}$ ตรงๆ ไม่ต้องใช้สูตร

อนุกรมอนันต์ — บวกไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

คำถามสำคัญคือผลบวกเข้าใกล้ค่าคงที่หรือโตไม่หยุด สำหรับอนุกรมเรขาคณิตมีเกณฑ์ชัดเจน

$S = \frac{a _{1}}{1 - r} ใช้ได้เมื่อ ∣ r ∣ < 1 เท่านั้น$

ถ้า $∣ r ∣ \geq 1$ ผลบวกไม่ลู่เข้า ห้ามแทนสูตรนี้เด็ดขาด เพราะจะได้ตัวเลขออกมาหน้าตาเหมือนคำตอบ ทั้งที่ความจริงคือไม่มีคำตอบ

การใช้งานที่ออกสอบบ่อย: เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

ทศนิยม $0.333 \dots$ คืออนุกรมเรขาคณิตที่ $a_{1} = 0.3$ และ $r = 0.1$

$S = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$

ข้อควรระวังที่คนพลาดมากที่สุด

การที่พจน์เข้าใกล้ศูนย์ ไม่ได้แปลว่าผลบวกลู่เข้า ตัวอย่างค้านที่โด่งดังคืออนุกรมฮาร์มอนิก

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$

พจน์เล็กลงเรื่อยๆ จนเข้าใกล้ศูนย์ แต่ผลบวกโตไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งที่ใช้ได้คือด้านกลับกัน: ถ้าพจน์ ไม่ เข้าใกล้ศูนย์ ก็สรุปได้ทันทีว่าไม่ลู่เข้า

สัญลักษณ์ซิกมา

$i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

สูตรผลบวกที่ใช้บ่อยและควรจำ

ผลบวก	ค่า
$\sum_{i = 1}^{n} 1$	$n$
$\sum_{i = 1}^{n} i$	$\frac{n ( n + 1 )}{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$	$\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{3}$	$[\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}$

สมบัติที่ใช้แยกก้อนได้

$\sum (a_{i} + b_{i}) = \sum a_{i} + \sum b_{i}, \sum c a_{i} = c \sum a_{i}$

ระวัง: $\sum a_{i} b_{i}$ ไม่เท่ากับ $(\sum a_{i}) (\sum b_{i})$ ผลคูณแยกก้อนแบบนี้ไม่ได้

จุดพลาดที่พบบ่อย

**ใช้ $n$ แทนที่จะเป็น $n - 1$ ในพจน์ทั่วไป** พจน์ที่หนึ่งยังไม่ได้บวก $d$ เลยแม้แต่ครั้งเดียว สูตรจึงเป็น $(n - 1) d$ ลองแทน $n = 1$ ทุกครั้งเพื่อตรวจ
**ใช้สูตรอนุกรมอนันต์ทั้งที่ $∣ r ∣ \geq 1$ ** ต้องเช็กเงื่อนไขก่อนแทนค่าเสมอ
นับจำนวนพจน์ผิด ผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 5 ถึงพจน์ที่ 20 มี 16 พจน์ ไม่ใช่ 15 พจน์
สับสนระหว่างพจน์ที่ n กับผลบวก n พจน์ อ่านโจทย์ให้ชัดว่าถามค่าเดียวหรือถามผลรวม

ฝึกต่อจากตรงนี้

ฝึกลำดับและอนุกรม — เลขคณิต เรขาคณิต และผลบวกจำกัด
ฝึกลำดับและอนุกรมอนันต์ — การลู่เข้า ทศนิยมซ้ำ อนุกรมโทรทรรศน์
สรุปเนื้อหาลำดับและอนุกรม ม.5