ม.5 · บทที่ 1🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~50 นาที

ลำดับและอนุกรม

ลำดับคือชุดตัวเลขที่เรียงตามกฎ ส่วนอนุกรมคือผลบวกของลำดับ — มีแค่สองแบบหลักที่ต้องแม่น คือ “บวกเท่าเดิมทุกครั้ง” กับ “คูณเท่าเดิมทุกครั้ง”

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต และอนุกรม (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓แยกได้ว่าลำดับที่กำหนดเป็นลำดับเลขคณิตหรือเรขาคณิต
✓หาพจน์ทั่วไปและพจน์ที่ต้องการของลำดับได้
✓หาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิตได้
✓ใช้สัญลักษณ์ซิกมาและนำไปแก้โจทย์ในชีวิตจริงได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลำดับsequence

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก $1, 2, 3, \dots$ — เขียนค่าที่ได้เรียงกันเป็น $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$

พจน์ทั่วไปgeneral term

สูตรของ $a_{n}$ ที่บอกพจน์ที่ $n$ ได้ทันทีโดยไม่ต้องไล่นับทีละพจน์

ความสัมพันธ์เวียนเกิดrecurrence relation

การบอกลำดับด้วยพจน์ก่อนหน้า เช่น $a_{n + 1} = a_{n} + d$ โดยต้องระบุ $a_{1}$ ด้วยเสมอ

ผลต่างร่วมcommon difference

ค่าที่บวกเพิ่มทุกพจน์ในลำดับเลขคณิต เขียนแทนด้วย $d$

อัตราส่วนร่วมcommon ratio

ค่าที่คูณทุกพจน์ในลำดับเรขาคณิต เขียนแทนด้วย $r$

อนุกรมseries

ผลบวกของพจน์ในลำดับ — ผลบวก $n$ พจน์แรกเขียนแทนด้วย $S_{n}$

ลู่เข้าconverge

ผลบวกเข้าใกล้ค่าจำกัดค่าหนึ่งเมื่อบวกต่อไปเรื่อยๆ · ถ้าไม่เข้าใกล้ค่าใดเลยเรียกว่าลู่ออก

1.1 ลำดับคืออะไร

🔑ลำดับเริ่มจากการมองหาแบบรูป

หนังสือเรียนเปิดเรื่องลำดับด้วยการให้ดู แบบรูป (pattern) ก่อน — เช่น จุดที่เรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยแถวที่ $n$ มี $n$ จุด ให้จำนวนจุดสะสมเป็น $1, 3, 6, 10, \dots$ · การมองแบบรูปให้ออกแล้วเขียนเป็นสูตร คือหัวใจของทั้งบท ไม่ใช่การท่องสูตรที่มีคนให้มา

💡อ่านแบบรูปอย่างไรให้ได้พจน์ทั่วไป

▸ลอง ผลต่างของพจน์ที่ติดกัน ก่อน — ถ้าคงที่ เป็นลำดับเลขคณิต
▸ถ้าผลต่างไม่คงที่ ลอง อัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน — ถ้าคงที่ เป็นลำดับเรขาคณิต
▸ถ้าทั้งสองอย่างไม่คงที่ ลองดูผลต่างของผลต่างอีกชั้น หรือหาความสัมพันธ์กับตำแหน่ง $n$ ตรงๆ
▸⚠️ แบบรูปเดียวกันอาจต่อได้หลายแบบ — $2, 4, 8, \dots$ ต่อเป็น $16$ (คูณสอง) หรือ $14$ (บวก $2, 4, 6$ ) ก็ได้ทั้งคู่ · โจทย์ที่ดีต้องบอกกฎ ไม่ใช่ให้เดา

ลำดับ (sequence)

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก $1, 2, 3, \dots$ — แทนที่จะเขียน $f (1), f (2), f (3)$ เราเขียนสั้นๆ ว่า $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ แล้วเรียกแต่ละตัวว่า พจน์ · ที่ต้องเป็นฟังก์ชันก็เพราะแต่ละตำแหน่งต้องให้ค่าออกมาได้ค่าเดียวเท่านั้น

•เขียนพจน์ที่ $n$ ว่า $a_{n}$ — $a_{1}$ คือพจน์แรก $a_{2}$ พจน์ที่สอง ไปเรื่อยๆ
•พจน์ทั่วไป $a_{n}$ คือสูตรที่บอกว่าพจน์ที่ $n$ เป็นเท่าไร โดยไม่ต้องไล่นับ
•ลำดับจำกัด มีพจน์สุดท้าย · ลำดับอนันต์ ไม่มีที่สิ้นสุด
•เขียนทั้งลำดับแบบย่อว่า ${a_{n}}$ — ปีกกาในที่นี้อ่านว่า “ลำดับ” ไม่ใช่เซต เพราะลำดับสนใจตำแหน่งและมีพจน์ซ้ำกันได้ (เช่น $5, 5, 5, \dots$ )

🔑บอกลำดับหนึ่งได้สองวิธี

▸พจน์ทั่วไป — บอกสูตรตรงๆ เช่น $a_{n} = 3 n + 2$ อยากได้พจน์ที่ $50$ ก็แทนค่าได้ทันที
▸ความสัมพันธ์เวียนเกิด — บอกว่าพจน์ถัดไปเกิดจากพจน์ก่อนหน้าอย่างไร เช่น $a_{1} = 5$ และ $a_{n + 1} = a_{n} + 3$
▸แบบเวียนเกิดตรงกับสถานการณ์จริงมากกว่า (ยอดเงินเดือนหน้าเกิดจากยอดเดือนนี้) แต่ต้องไล่ทีละขั้น · บทที่ 2 เรื่องดอกเบี้ยใช้มุมมองนี้ทั้งบท

✏️ตัวอย่าง

ลำดับกำหนดด้วย $a_{1} = 5$ และ $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ จงเขียนพจน์ทั่วไป

ขั้นที่ 1ไล่ดูก่อน: $a_{1} = 5$ · $a_{2} = 8$ · $a_{3} = 11$ · $a_{4} = 14$
ขั้นที่ 2แต่ละขั้นบวก $3$ → เป็นลำดับเลขคณิตที่ $d = 3$
ขั้นที่ 3กว่าจะถึงพจน์ที่ $n$ บวกไปแล้ว $n - 1$ ครั้ง: $a_{n} = 5 + 3 (n - 1)$

ตอบ $a_{n} = 3 n + 2$

💡 แปลงเวียนเกิดเป็นพจน์ทั่วไปได้เสมอเมื่อรูปแบบเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต — ไล่สี่พจน์แรกก่อนแล้วค่อยดูว่าบวกหรือคูณ

วิธีดูว่าเป็นลำดับแบบไหน

1ลอง ลบ พจน์ติดกัน — ถ้าได้เท่ากันทุกคู่ → เลขคณิต
2ลอง หาร พจน์ติดกัน — ถ้าได้เท่ากันทุกคู่ → เรขาคณิต
3ถ้าไม่เข้าทั้งสองแบบ ให้หาความสัมพันธ์อื่น (เช่น กำลังสอง หรือบวกกันเอง)

ลำดับ	ชนิด	ค่า
$3, 7, 11, 15, \dots$	เลขคณิต	$d = 4$
$2, 6, 18, 54, \dots$	เรขาคณิต	$r = 3$
$1, 4, 9, 16, \dots$	ไม่ใช่ทั้งสอง	เป็น $n^{2}$
$100, 50, 25, \dots$	เรขาคณิต	$r = \frac{1}{2}$

ฝึกแยกให้ออก

🔑ลำดับ กับ อนุกรม ต่างกันตรงไหน

▸ลำดับ คือตัวเลขที่เรียงกัน: $3, 7, 11, 15$
▸อนุกรม คือผลบวกของลำดับนั้น: $3 + 7 + 11 + 15$
▸ผลบวกของ $n$ พจน์แรกเขียนว่า $S_{n}$ — เช่นลำดับข้างบนมี $S_{2} = 3 + 7 = 10$ แต่ $a_{2} = 7$
▸ $a_{n}$ กับ $S_{n}$ คนละเรื่องกัน และเป็นจุดที่สับสนกันมากที่สุดของบทนี้ · หัวข้อ 1.4–1.5 จะหาสูตรของ $S_{n}$

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 6 หัวข้อ — อีก 5 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ลำดับและอนุกรม →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด