สรุปสูตรพื้นที่และปริมาตร ครบทุกรูป พร้อมวิธีจำไม่ให้สับสน

18 กันยายน 2569 · อ่าน ~5 นาที · โดย ทีมงานเก่งดี

รวมสูตรพื้นที่รูปสองมิติและปริมาตร-พื้นที่ผิวรูปสามมิติไว้ในหน้าเดียว พร้อมเหตุผลว่าทำไมสูตรหน้าตาแบบนี้ และจุดพลาดที่ทำให้คำตอบผิดบ่อยที่สุด

สูตรพื้นที่กับปริมาตรเป็นเรื่องที่ใครก็เคยท่อง แต่พอเจอโจทย์จริงกลับเลือกสูตรผิด เพราะจำเป็น "ก้อนๆ" โดยไม่เห็นว่าสูตรพวกนี้ต่อยอดกันมาอย่างไร

หน้านี้จัดสูตรใหม่ตามความเกี่ยวข้องกัน ไม่ได้เรียงตามหนังสือ เพื่อให้จำน้อยลงแต่ใช้ได้มากขึ้น

รูปสองมิติ — ทุกสูตรมาจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ถ้าจำได้ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ กว้าง คูณ ยาว ที่เหลือเป็นการดัดแปลงทั้งหมด

รูป	สูตรพื้นที่	มาจากไหน
สี่เหลี่ยมผืนผ้า	$A = w h$	นับช่องตาราง
สี่เหลี่ยมด้านขนาน	$A = bh$	ตัดสามเหลี่ยมข้างหนึ่งไปต่ออีกข้าง กลายเป็นผืนผ้า
รูปสามเหลี่ยม	$A = \frac{1}{2} bh$	ครึ่งหนึ่งของด้านขนานที่มีฐานและสูงเท่ากัน
สี่เหลี่ยมคางหมู	$A = \frac{1}{2} (a + b) h$	เอาสองรูปมาประกบกันได้ด้านขนาน
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	$A = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก แบ่งเป็นสามเหลี่ยม 4 รูป
วงกลม	$A = π r^{2}$	ตัดเป็นเสี้ยวแล้วเรียงสลับ ได้เกือบเป็นผืนผ้ากว้าง $π r$ สูง $r$

สังเกตว่าทุกสูตรมี "ฐาน คูณ สูง" ซ่อนอยู่ ต่างกันแค่ตัวคูณข้างหน้า สิ่งที่ต้องระวังคือ สูงต้องตั้งฉากกับฐานเสมอ ไม่ใช่ความยาวด้านเอียง

เส้นรอบรูปที่คนสับสนกับพื้นที่บ่อยที่สุด

วงกลมมีสองสูตรที่หน้าตาใกล้กันมาก จำสลับกันเมื่อไรผิดทั้งข้อ

เส้นรอบวง $C = 2 π r$ — หน่วยเป็นความยาว เช่น เซนติเมตร
พื้นที่วงกลม $A = π r^{2}$ — หน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตารางเซนติเมตร

วิธีเช็กเร็วที่สุดคือ ดูหน่วยของคำตอบ ถ้าโจทย์ถามหาพื้นที่แล้วสูตรที่เลือกมี $r$ ยกกำลังหนึ่ง แปลว่าหยิบผิดแน่นอน

รูปสามมิติ — แบ่งเป็นสองตระกูลใหญ่

รูปทรงสามมิติที่ออกสอบแทบทั้งหมดแบ่งได้เป็นสองตระกูล และแต่ละตระกูลใช้ตรรกะเดียวกันหมด

ตระกูลที่หนึ่ง: ฐานเท่ากันตลอด (ปริซึมและทรงกระบอก)

$V = (พื้นที่ฐาน) \times h$

นึกภาพเอากระดาษรูปฐานมาวางซ้อนกันจนสูง $h$ ปริมาตรจึงเป็นพื้นที่ฐานคูณจำนวนชั้น

รูปทรง	ปริมาตร	พื้นที่ผิวทั้งหมด
ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$V = w l h$	$2 (w l + l h + w h)$
ทรงกระบอก	$V = π r^{2} h$	$2 π r^{2} + 2 π r h$
ลูกบาศก์	$V = s^{3}$	$6 s^{2}$

ตระกูลที่สอง: เรียวไปจบที่จุดเดียว (พีระมิดและกรวย)

$V = \frac{1}{3} \times (พื้นที่ฐาน) \times h$

เลข $\frac{1}{3}$ ไม่ได้มาลอยๆ — ถ้าเอาพีระมิดสามอันที่ฐานและสูงเท่ากับปริซึมมาประกอบกัน จะได้ปริซึมพอดีหนึ่งอัน ลองนึกภาพนี้ไว้แล้วจะไม่มีวันลืมว่าต้องหารสาม

รูปทรง	ปริมาตร	พื้นที่ผิวทั้งหมด
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส	$V = \frac{1}{3} s^{2} h$	$s^{2} + 2 s ℓ$
กรวย	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$π r^{2} + π r ℓ$
ทรงกลม	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

โดยที่ $ℓ$ คือ สูงเอียง ไม่ใช่สูงตรง ทั้งสองค่านี้ต่างกันและสัมพันธ์กันด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}$

จุดพลาดที่พบบ่อยที่สุด 5 ข้อ

ใช้สูงเอียงแทนสูงตรงในสูตรปริมาตรกรวย โจทย์มักให้สูงเอียงมาเพราะวัดได้ง่ายกว่า ต้องแปลงเป็นสูงตรงด้วยพีทาโกรัสก่อนเสมอ
ลืมหารสาม ในกรวยและพีระมิด ข้อสอบมักวางตัวเลือกที่เป็นคำตอบคูณสามไว้ด้วย คนที่ลืมหารจะเจอคำตอบตัวเองในตัวเลือกพอดีและกาไปอย่างมั่นใจ
สับสนรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลาง โจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร ต้องใช้ $r = 7$ ไม่ใช่ 14 ข้อผิดนี้ทำให้คำตอบคลาดสี่เท่าในพื้นที่ และแปดเท่าในปริมาตร
หน่วยไม่ตรงกัน ถ้าโจทย์ให้ความกว้างเป็นเมตรแต่ความสูงเป็นเซนติเมตร ต้องแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนแทนค่า ไม่ใช่แปลงตอนได้คำตอบแล้ว
พื้นที่ผิวของทรงที่เปิดฝา ถังน้ำไม่มีฝาใช้ $π r^{2} + 2 π r h$ ไม่ใช่สูตรเต็ม ต้องอ่านโจทย์ว่าปิดกี่ด้าน

ค่า $π$ ใช้เท่าไรดี

ถ้าโจทย์ไม่ได้บอก ให้ดูตัวเลขในโจทย์เป็นหลัก

รัศมีหารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 7, 14, 21) ให้ใช้ $π \approx \frac{22}{7}$ เพราะเลขจะตัดกันพอดี
รัศมีเป็นเลขกลมทั่วไป (เช่น 5, 10) ให้ใช้ $π \approx 3.14$

นี่ไม่ใช่กฎคณิตศาสตร์ แต่เป็นสัญญาณที่คนออกข้อสอบทิ้งไว้ให้ ถ้าเลือกถูกจะคำนวณได้เร็วขึ้นมาก

ฝึกต่อจากตรงนี้

อ่านสูตรอย่างเดียวไม่พอ ต้องเจอโจทย์ที่บังคับให้เลือกสูตรเองถึงจะจำได้จริง

ฝึกโจทย์พื้นที่ผิวและปริมาตร — โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำของเดิม
สรุปเนื้อหารูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ม.1 — ปูพื้นเรื่องหน้าตัดและรูปคลี่
สรุปเนื้อหาพีระมิด กรวย และทรงกลม ม.3 — ที่มาของสูตรแบบละเอียด
เครื่องมือเรขาคณิต — ลองสร้างรูปด้วยวงเวียนกับสันตรงบนจอ เห็นความสัมพันธ์ชัดกว่าดูรูปนิ่ง