สรุปสูตรตรีโกณมิติ ครบตั้งแต่ ม.3 ถึง ม.6 ในหน้าเดียว

ตรีโกณมิติมีสูตรเยอะจนหลายคนถอดใจ แต่ความจริงมีสูตร "ต้นทาง" อยู่ไม่กี่ตัว ที่เหลือแตกออกมาจากตรงนั้น

หน้านี้เรียงจากสิ่งที่ต้องรู้ก่อน ไปหาสิ่งที่ต่อยอด และบอกกำกับทุกกลุ่มว่า เอาไปใช้ตอนไหน เพราะปัญหาจริงของคนส่วนใหญ่ไม่ใช่จำสูตรไม่ได้ แต่คือไม่รู้ว่าจะหยิบสูตรไหนมาใช้

ขั้นที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เริ่มจากสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม $A$ อยู่มุมหนึ่ง

อีกสามตัวเป็นส่วนกลับกันตรงๆ ไม่ต้องจำเพิ่ม

$$\csc A=\frac{1}{\sin A},\sec A=\frac{1}{\cos A},\cot A=\frac{1}{\tan A}$$

จุดที่คนจำสลับบ่อยที่สุดคือ $\sec$ คู่กับ $\cos$ ไม่ใช่ $\sin$ สังเกตว่าตัวอักษรตัวที่สามของ $\sec$ คือ $c$ ซึ่งตรงกับ $\cos$

ขั้นที่ 2 มุมพิเศษที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

วิธีจำที่พลาดยาก: เขียนค่าของ $\sin$ เป็น $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ ไล่จากมุมน้อยไปมาก แล้ว $\cos$ คืออันเดียวกันแต่อ่านย้อนกลับ

ขั้นที่ 3 วงกลมหนึ่งหน่วย — ตอนที่มุมโตเกิน 90 องศา

สามเหลี่ยมมุมฉากใช้ได้แค่มุมแหลม พอถึง ม.5 ต้องขยายไปมุมเท่าไรก็ได้ โดยใช้จุดบนวงกลมรัศมี 1

$$\sin \theta =y,\cos \theta =x,\tan \theta =\frac{y}{x}$$

เครื่องหมายในแต่ละจตุภาคจึงไม่ต้องท่อง แค่ดูว่าจุดนั้น $x$ กับ $y$ เป็นบวกหรือลบ

การแปลงหน่วยมุมใช้ความจริงว่าครึ่งวงกลมคือ $180^{\circ }$ และเท่ากับ $\pi$ เรเดียน

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ เรเดียน},1\text{ เรเดียน}=\frac{180^{\circ }}{\pi }$$

ขั้นที่ 4 เอกลักษณ์พื้นฐาน — ใช้ตอนต้องเปลี่ยนรูปนิพจน์

ตัวแม่มีตัวเดียว มาจากพีทาโกรัสบนวงกลมหนึ่งหน่วย

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

อีกสองตัวได้จากการหารสมการข้างบนด้วย ${\cos }^2\theta$ และ ${\sin }^2\theta$ ตามลำดับ ไม่ต้องจำแยก

$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta ,1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$$

ใช้ตอนไหน: เมื่อโจทย์ให้ค่าของฟังก์ชันหนึ่งแล้วถามอีกฟังก์ชันหนึ่ง หรือเมื่อต้องพิสูจน์ว่าสองนิพจน์เท่ากัน

ขั้นที่ 5 สูตรผลบวกและผลต่างมุม

$$\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$$

$$\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$$

$$\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$$

ระวังเครื่องหมายของ $\cos$ ให้ดี มัน สลับ กับเครื่องหมายในวงเล็บ ส่วน $\sin$ ตรงกัน จุดนี้เป็นที่มาของคำตอบผิดมากที่สุดในบทนี้

ใช้ตอนไหน: เมื่อต้องหาค่าของมุมที่ไม่ใช่มุมพิเศษ แต่แตกเป็นผลบวกของมุมพิเศษได้ เช่น $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$

ขั้นที่ 6 สูตรมุมสองเท่า — เคสพิเศษของขั้นที่ 5

แทน $B=A$ ลงในสูตรผลบวกมุม จะได้ทันที

$$\sin 2A=2\sin A\cos A$$

$$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=1-2{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1$$

$$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$$

ที่ $\cos 2A$ มีสามหน้าตาเพราะใช้ ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ แทนสลับไปมา ให้เลือกหน้าตาที่มีตัวแปรตรงกับที่โจทย์ให้มา จะได้ไม่ต้องแปลงเพิ่ม

ขั้นที่ 7 สามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก

กฎของไซน์ ใช้เมื่อรู้ มุมคู่กับด้านตรงข้าม อย่างน้อยหนึ่งคู่

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

กฎของโคไซน์ ใช้เมื่อรู้ ด้านสองด้านกับมุมระหว่าง หรือรู้ ด้านครบสามด้าน

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

ถ้าต้องการหามุมเมื่อรู้ด้านครบสามด้าน ให้ย้ายข้างเป็น

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

พื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อรู้ด้านสองด้านและมุมระหว่าง

$$\text{พื้นที่}=\frac{1}{2}ab\sin C$$

ข้อควรระวังที่หนังสือหลายเล่มไม่บอก: ถ้าโจทย์ให้ ด้าน-ด้าน-มุม ที่มุมนั้นไม่ได้อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง การใช้กฎของไซน์อาจได้สามเหลี่ยมสองรูปที่ต่างกัน ต้องตรวจทั้งสองกรณีเสมอ

ตารางสรุป: โจทย์แบบนี้ใช้สูตรไหน

ฝึกต่อจากตรงนี้

• ฝึกอัตราส่วนตรีโกณมิติ (ม.3) — สามเหลี่ยมมุมฉาก มุมก้ม มุมเงย
• ฝึกฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ม.5) — วงกลมหนึ่งหน่วย เรเดียน คาบ แอมพลิจูด
• ฝึกเอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ — สูตรผลบวกมุม มุมสองเท่า กฎไซน์-โคไซน์
• สรุปเนื้อหาตรีโกณมิติเบื้องต้น ม.3
• สรุปเนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
• ห้องทดลองกราฟไซน์ — เลื่อนค่าแล้วเห็นคาบกับแอมพลิจูดขยับจริง เข้าใจเร็วกว่าท่องนิยาม