ม.5 · เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~44 นาที

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ขยายตรีโกณจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ที่ทำได้แค่มุม $0$ – $9 0^{\circ}$ ) ไปสู่วงกลมหนึ่งหน่วย ที่ใช้ได้กับมุมทุกขนาด รวมทั้งมุมลบและมุมเกินหนึ่งรอบ

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · วงกลมหนึ่งหน่วย เรเดียน และกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓แปลงระหว่างองศากับเรเดียนได้
✓หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วยได้
✓บอกเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละจตุภาคได้
✓เขียนและอ่านกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

วงกลมหนึ่งหน่วยunit circle

วงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

มุมในตำแหน่งมาตรฐานangle in standard position

มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และมีด้านเริ่มต้นทับแกน $X$ ด้านบวก

ด้านสิ้นสุดterminal side

ด้านของมุมหลังหมุนไปแล้ว — จุดที่ด้านนี้ตัดวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดที่ใช้อ่านค่า $sin$ กับ $cos$

จตุภาคquadrant

หนึ่งในสี่ส่วนของระนาบที่แกน $X$ กับแกน $Y$ แบ่งไว้ นับทวนเข็มจากมุมขวาบน

มุมอ้างอิงreference angle

มุมแหลมที่ด้านสิ้นสุดทำกับแกน $X$ — ใช้ยืมค่าจากมุมพิเศษในจตุภาคที่ 1

เรเดียนradian

หน่วยวัดมุมที่ใช้ความยาวส่วนโค้งเทียบรัศมี

คาบperiod

ช่วงที่ สั้นที่สุด ที่กราฟซ้ำรูปเดิม

แอมพลิจูดamplitude

ครึ่งหนึ่งของระยะระหว่างค่าสูงสุดกับต่ำสุด

เส้นกำกับasymptote

เส้นตรงที่กราฟเข้าใกล้ไม่รู้จบแต่ไม่มีวันแตะ — กราฟ $tan$ มีเส้นกำกับตรงที่หาค่าไม่ได้

3.1 จากรูปสามเหลี่ยมสู่วงกลมหนึ่งหน่วย

🔑ตั้งรูปในหัวก่อน แล้วจะอ้างถึงได้ทั้งบท

▸วาดแกน $X$ กับแกน $Y$ แล้ววาดวงกลมรัศมี $1$ มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด $O$ — นี่คือ วงกลมหนึ่งหน่วย
▸วงกลมตัดแกนที่สี่จุด: ขวา $(1, 0)$ · บน $(0, 1)$ · ซ้าย $(- 1, 0)$ · ล่าง $(0, - 1)$
▸วางมุม $θ$ ใน ตำแหน่งมาตรฐาน คือให้จุดยอดอยู่ที่ $O$ และ ด้านเริ่มต้น ทับแกน $X$ ด้านบวกเสมอ
▸หมุน ทวนเข็มนาฬิกา ถ้ามุมเป็นบวก หมุน ตามเข็ม ถ้ามุมเป็นลบ · ด้านที่หมุนไปหยุดเรียกว่า ด้านสิ้นสุด
▸จุดที่ด้านสิ้นสุดตัดวงกลม ให้ชื่อว่า $P$ — ทุกอย่างในบทนี้อ่านค่าจากพิกัดของจุด $P$ ทั้งหมด

พิกัดของจุด $P$ บนวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อหมุนไป $θ$

P = (cos θ, sin θ)

นี่คือ นิยาม ของ $sin$ กับ $cos$ สำหรับมุมทุกขนาด — ไม่ใช่สูตรที่ต้องพิสูจน์ · ในจตุภาคที่ 1 นิยามนี้ให้ค่าตรงกับอัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เรียนมาใน ม.3 พอดี

• $cos θ$ = พิกัด $x$ ของจุด $P$ · $sin θ$ = พิกัด $y$ · $tan θ = \frac{y}{x} = \frac{sin θ}{cos θ}$
•รัศมีเป็น $1$ ทำให้ $sin$ กับ $cos$ อ่านออกจากพิกัดได้ตรงๆ
•จึงนิยามมุมได้ทุกขนาด — เกิน $9 0^{\circ}$ เกิน $36 0^{\circ}$ หรือติดลบก็ได้
•เพราะจุด $P$ อยู่บนวงกลมรัศมี $1$ ค่าของ $sin θ$ กับ $cos θ$ จึงอยู่ในช่วง $[- 1, 1]$ เสมอ
•⚠️ $tan θ$ หาค่าไม่ได้เมื่อ $cos θ = 0$ (ตัวส่วนเป็นศูนย์) นั่นคือที่ $θ = 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$ และทุกมุมที่ห่างจากนั้นครบรอบ

อีกสามฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของสามตัวแรก

csc θ = \frac{1}{sin θ} sec θ = \frac{1}{cos θ} cot θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{sin θ}

อ่านว่า โคเซแคนต์ · เซแคนต์ · โคแทนเจนต์ · ทั้งสามตัวหาค่าไม่ได้เมื่อตัวส่วนเป็นศูนย์ · จำคู่ให้ถูก — ส่วนกลับของ $cos$ คือ $sec$ (ไม่ใช่ $csc$ ) ซึ่งสลับกันง่ายมาก

$θ$	จุด $P$	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
$0^{\circ}$ หรือ $0$	$(1, 0)$	$0$	$1$	$0$
$9 0^{\circ}$ หรือ $\frac{π}{2}$	$(0, 1)$	$1$	$0$	หาค่าไม่ได้
$18 0^{\circ}$ หรือ $π$	$(- 1, 0)$	$0$	$- 1$	$0$
$27 0^{\circ}$ หรือ $\frac{3 π}{2}$	$(0, - 1)$	$- 1$	$0$	หาค่าไม่ได้
$36 0^{\circ}$ หรือ $2 π$	$(1, 0)$	$0$	$1$	$0$

ค่าที่มุมบนแกน — จุด $P$ ตกบนแกนพอดี อ่านพิกัดได้ทันทีโดยไม่ต้องใช้ตารางมุมพิเศษ

เอกลักษณ์ที่ตามมาทันที (จากพีทาโกรัส)

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

จตุภาค	$sin$	$cos$	$tan$	ตัวที่เป็นบวก
ที่ 1 ( $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ )	$+$	$+$	$+$	A ทุกตัว
ที่ 2 ( $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ )	$+$	$-$	$-$	S เฉพาะ sin
ที่ 3 ( $18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}$ )	$-$	$-$	$+$	T เฉพาะ tan
ที่ 4 ( $27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}$ )	$-$	$+$	$-$	C เฉพาะ cos

เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

💡เคล็ดลับ

จำด้วย A-S-T-C วนทวนเข็มจากจตุภาคที่ 1 — หรือจำว่า $cos$ คือ $x$ (ซ้ายลบขวาบวก) และ $sin$ คือ $y$ (บนบวกล่างลบ) ก็ได้เหตุผลเดียวกันแต่ไม่ต้องท่อง · มุมที่ตกบนแกนพอดี ( $0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$ ) ไม่ถือว่าอยู่ในจตุภาคใด ให้อ่านค่าจากตารางข้างบนแทน

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 4 หัวข้อ — อีก 3 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (วงกลมหนึ่งหน่วย · เรเดียน · กราฟ) →ฝึกโจทย์ ทบทวนอัตราส่วนตรีโกณมิติ (ม.3) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด