เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

จงย่อ $(1-{\cos }^2\theta )(1+{\cot }^2\theta )$ ให้อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุด

1. ขั้นที่ 1ก้อนแรก: จาก ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ได้ $1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$
2. ขั้นที่ 2ก้อนที่สอง: $1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta =\frac{1}{{\sin }^2\theta }$
3. ขั้นที่ 3คูณกัน: ${\sin }^2\theta \cdot \frac{1}{{\sin }^2\theta }=1$

ตอบ  $1$

💡 โจทย์ย่อนิพจน์ที่ได้คำตอบเป็นตัวเลขโดดๆ แบบนี้ออกสอบบ่อย — สังเกตว่าทั้งสองก้อนเป็นสมาชิกของตระกูลพีทาโกรัสคนละตัว

พิสูจน์ว่า $\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }+\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }=2\csc \theta$

1. ขั้นที่ 1ข้างซ้ายซับซ้อนกว่า จึงเริ่มจากข้างซ้าย · รวมเศษส่วน: $\frac{{\sin }^2\theta +(1+\cos \theta {)}^2}{\sin \theta (1+\cos \theta )}$
2. ขั้นที่ 2กระจายตัวเศษ: $\frac{{\sin }^2\theta +1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta (1+\cos \theta )}$
3. ขั้นที่ 3ใช้ ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ได้ตัวเศษ $=1+1+2\cos \theta =2(1+\cos \theta )$
4. ขั้นที่ 4ตัด $(1+\cos \theta )$ ออกทั้งเศษและส่วน: $\frac{2}{\sin \theta }=2\csc \theta$ ซึ่งเท่ากับข้างขวา

ตอบ  พิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า $\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }=\sec \theta +\tan \theta$

1. ขั้นที่ 1ตัวส่วนมีรูป $1-\sin \theta$ จึงคูณด้วยสังยุค $(1+\sin \theta )$ ทั้งเศษและส่วน
2. ขั้นที่ 2ได้ $\frac{\cos \theta (1+\sin \theta )}{(1-\sin \theta )(1+\sin \theta )}$
3. ขั้นที่ 3ตัวส่วนเป็นผลต่างกำลังสอง: $(1-\sin \theta )(1+\sin \theta )=1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$
4. ขั้นที่ 4จึงได้ $\frac{\cos \theta (1+\sin \theta )}{{\cos }^2\theta }=\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }$
5. ขั้นที่ 5แยกเศษส่วน: $\frac{1}{\cos \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\sec \theta +\tan \theta$

ตอบ  พิสูจน์แล้ว

💡 การคูณด้วยสังยุคคือท่าที่ควรนึกถึงทันทีเมื่อเห็น $1\pm \sin \theta$ หรือ $1\pm \cos \theta$ อยู่ในตัวส่วน — เพราะผลต่างกำลังสองจะเปลี่ยนตัวส่วนให้เป็นกำลังสองของอีกฟังก์ชันหนึ่งเสมอ