ม.5 · เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~24 นาที

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์คือสมการที่จริงทุกค่าของมุม ใช้แปลงนิพจน์ให้ง่ายลง — และเมื่อรวมกับกฎของไซน์-โคไซน์ ก็แก้สามเหลี่ยมชนิดใดก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นมุมฉาก

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการ และกฎของไซน์-โคไซน์ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓ใช้เอกลักษณ์พื้นฐานพิสูจน์และย่อนิพจน์ตรีโกณมิติได้
✓ใช้สูตรผลบวก-ผลต่างมุมและมุมสองเท่าได้
✓แก้สมการตรีโกณมิติในช่วงที่กำหนดได้
✓ใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์แก้สามเหลี่ยมใดๆ ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

เอกลักษณ์identity

สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่นิยามได้

กฎของไซน์law of sines

ความสัมพันธ์ระหว่างด้านกับไซน์ของมุมตรงข้าม

4.1 เอกลักษณ์พื้นฐาน

เอกลักษณ์
$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$
$cot θ = \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{1}{tan θ}$
$sec θ = \frac{1}{cos θ}$ · $csc θ = \frac{1}{sin θ}$

ตระกูลที่ 1 — ส่วนกลับและผลหาร

เอกลักษณ์	ได้มาอย่างไร
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$	ตัวหลัก
$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$	หารตัวหลักด้วย $cos^{2} θ$
$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$	หารตัวหลักด้วย $sin^{2} θ$

ตระกูลที่ 2 — พีทาโกรัส (จำตัวแรกตัวเดียวพอ)

💡เทคนิคพิสูจน์เอกลักษณ์

▸เริ่มจากข้างที่ ซับซ้อนกว่า แล้วทำให้ง่ายลง
▸แปลงทุกอย่างเป็น $sin$ กับ $cos$ ก่อน — แก้ได้เกือบทุกข้อ
▸ห้ามย้ายข้าง — ต้องทำทีละข้างจนเท่ากัน (เพราะยังไม่รู้ว่าเท่ากันจริงไหม)

✏️ตัวอย่าง

พิสูจน์ว่า $\frac{sin θ}{1 + cos θ} + \frac{1 + cos θ}{sin θ} = 2 csc θ$

ขั้นที่ 1รวมเศษส่วนข้างซ้าย: $\frac{sin ^{2} θ + ( 1 + cos θ ) ^{2}}{sin θ ( 1 + cos θ )}$
ขั้นที่ 2กระจาย: $\frac{sin ^{2} θ + 1 + 2 cos θ + cos ^{2} θ}{sin θ ( 1 + cos θ )}$
ขั้นที่ 3ใช้ $sin^{2} + cos^{2} = 1$ : $\frac{1 + 1 + 2 cos θ}{sin θ ( 1 + cos θ )} = \frac{2 ( 1 + cos θ )}{sin θ ( 1 + cos θ )}$
ขั้นที่ 4ตัด $(1 + cos θ)$ : $\frac{2}{sin θ} = 2 csc θ$ ✓

ตอบ พิสูจน์แล้ว

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 5 หัวข้อ — อีก 4 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด