ม.5 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~82 นาที

เมทริกซ์

เมทริกซ์คือตารางตัวเลขที่คำนวณได้ทั้งก้อน — บวก ลบ คูณ และกลับด้านได้เหมือนจำนวนหนึ่งจำนวน จุดที่ทำให้มันมีค่าคือมันเปลี่ยนระบบสมการหลายตัวแปรให้กลายเป็นสมการเดียว แล้วแก้ด้วยขั้นตอนตายตัวที่คอมพิวเตอร์ทำซ้ำได้

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · เมทริกซ์ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ผกผัน และการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกมิติ ระบุสมาชิกตามตำแหน่ง และหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ได้
✓บวก ลบ คูณด้วยสเกลาร์ และคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ได้ พร้อมตรวจกฎมิติก่อนคูณ
✓บอกได้ว่าสมบัติใดของจำนวนยังใช้กับเมทริกซ์ได้ และสมบัติใดใช้ไม่ได้
✓หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $2 \times 2$ และ $3 \times 3$ ได้ ทั้งด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์และวิธีคูณตามเส้นทแยง (วิธีหลังใช้ได้กับ $3 \times 3$ เท่านั้น)
✓ใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ลัดการคำนวณได้
✓หาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ $2 \times 2$ และบอกได้ว่าเมทริกซ์ใดไม่มีผกผัน
✓แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้ด้วยเมทริกซ์ผกผันและการดำเนินการตามแถว และใช้กฎของคราเมอร์เป็นส่วนเสริมได้ (กฎของคราเมอร์อยู่นอกหนังสือเรียน)

📑 หัวข้อในบทนี้

5.1 เมทริกซ์คืออะไร
5.2 การบวก ลบ และคูณด้วยสเกลาร์กำลังตรวจทาน
5.3 การคูณเมทริกซ์กำลังตรวจทาน
5.4 ดีเทอร์มิแนนต์กำลังตรวจทาน
5.5 เมทริกซ์ผกผันกำลังตรวจทาน
5.6 แก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์ (สามวิธี)กำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

มิติdimension

ขนาดของเมทริกซ์ เขียนเป็น แถว × หลัก — แถวก่อนหลักเสมอ

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนtranspose

เมทริกซ์ที่ได้จากการสลับแถวกับหลัก เขียน $A^{T}$ (หนังสือเรียน สสวท. เขียน $A^{t}$ ความหมายเดียวกัน)

ดีเทอร์มิแนนต์determinant

ตัวเลขตัวเดียวที่คำนวณจากเมทริกซ์จัตุรัส เขียน $det A$ หรือ $∣ A ∣$

ไมเนอร์minor

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เหลือ หลังปิดแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ ทิ้ง

โคแฟกเตอร์cofactor

ไมเนอร์ที่ติดเครื่องหมายบวกหรือลบตามตำแหน่ง — $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$

เมทริกซ์เอกลักษณ์identity matrix

เมทริกซ์จัตุรัสที่ทแยงมุมหลักเป็น $1$ ที่เหลือเป็น $0$ — คูณแล้วได้ตัวเดิม ทำหน้าที่เหมือนเลข $1$

เมทริกซ์ผกผันinverse matrix

เมทริกซ์ $A^{- 1}$ ที่ทำให้ $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ — ทำหน้าที่เหมือนส่วนกลับของจำนวน

เมทริกซ์เอกฐานsingular matrix

เมทริกซ์จัตุรัสที่ $det = 0$ จึงไม่มีผกผัน

เมทริกซ์แต่งเติมaugmented matrix

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่ต่อหลักของค่าคงตัวเข้าไปทางขวา ใช้กับการดำเนินการตามแถว

กฎของคราเมอร์Cramer's rule

วิธีหาคำตอบของระบบสมการด้วยอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ (ส่วนเสริม · หนังสือเรียนไม่ได้สอน)

5.1 เมทริกซ์คืออะไร

🔑ทำไมต้องมีของแบบนี้

▸ข้อมูลจริงมักมาเป็น ตาราง — คะแนนนักเรียนหลายคนหลายวิชา ยอดขายหลายสาขาหลายเดือน
▸ถ้าเก็บเป็นตัวเลขกระจัดกระจาย เวลาจะคำนวณต้องเขียนสูตรทีละช่อง
▸เมทริกซ์คือการตกลงกันว่า ตารางทั้งตารางนับเป็นของชิ้นเดียว แล้วนิยามการบวก ลบ คูณ ให้กับของชิ้นนั้น
▸ผลที่ได้คือระบบสมการ $10$ ตัวแปรเขียนย่อได้เหลือ $A X = B$ สามตัวอักษร แล้วแก้ด้วยขั้นตอนเดียวกับสมการ $a x = b$

•เมทริกซ์ $m \times n$ มี $m$ แถว $n$ หลัก — แถวก่อนหลักเสมอ (อ่านว่า เอ็ม คูณ เอ็น)
• $a_{ij}$ คือสมาชิกที่อยู่ แถวที่ $i$ หลักที่ $j$ — ตัวห้อยตัวแรกคือแถวเสมอ
•เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่แถวเท่าหลัก ( $n \times n$ ) — เฉพาะแบบนี้เท่านั้นที่หาดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผันได้
•เมทริกซ์สองตัว เท่ากัน เมื่อมิติเท่ากัน และ สมาชิกทุกตัวตรงกันทุกตำแหน่ง

✏️ตัวอย่าง

ตารางคะแนนสอบของนักเรียน $3$ คน ใน $2$ วิชา เขียนเป็นเมทริกซ์ $A = 181216152014$ จงบอกมิติของ $A$ และค่าของ $a_{32}$

ขั้นที่ 1นับแถว: มี $3$ แถว (นักเรียน $3$ คน) · นับหลัก: มี $2$ หลัก (วิชา $2$ วิชา)
ขั้นที่ 2มิติจึงเป็น $3 \times 2$ — เขียนแถวก่อนหลักเสมอ
ขั้นที่ 3 $a_{32}$ คือสมาชิกแถวที่ $3$ หลักที่ $2$ นั่นคือคะแนนวิชาที่ $2$ ของนักเรียนคนที่ $3$

ตอบ มิติ $3 \times 2$ · $a_{32} = 14$

💡 ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้คือสลับแถวกับหลัก — จำว่าตัวห้อยอ่านเหมือนที่อยู่: บ้านเลขที่ (แถว) ก่อน ซอย (หลัก)

ชื่อ	ลักษณะ	ตัวอย่าง
เมทริกซ์แถว	มีแถวเดียว ( $1 \times n$ )	$[251]$
เมทริกซ์หลัก	มีหลักเดียว ( $m \times 1$ )	$[37]$
เมทริกซ์ศูนย์	สมาชิกเป็นศูนย์ทุกตัว	$[0000]$
เมทริกซ์ทแยงมุม	จัตุรัส · นอกทแยงมุมหลักเป็นศูนย์	$[3005]$
เมทริกซ์เอกลักษณ์	ทแยงมุมหลักเป็น $1$ ที่เหลือเป็น $0$	$[1001]$

เมทริกซ์ชนิดที่ต้องเรียกชื่อได้

เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $2 \times 2$ และ $3 \times 3$

I_{2} = [1001] I_{3} = 100010001

สมบัติที่ทำให้มันสำคัญคือ $A I = I A = A$ ทุกเมทริกซ์จัตุรัส $A$ — มันคือ “เลขหนึ่ง” ของโลกเมทริกซ์

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน $A^{T}$

เมทริกซ์ที่ได้จากการ สลับแถวกับหลัก — แถวที่ $1$ ของ $A$ กลายเป็นหลักที่ $1$ ของ $A^{T}$ · ถ้า $A$ มีมิติ $m \times n$ แล้ว $A^{T}$ จะมีมิติ $n \times m$ · หมายเหตุสัญกรณ์: หนังสือเรียน สสวท. เขียนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนเป็น $A^{t}$ ซึ่งมีความหมายเดียวกับ $A^{T}$ ที่ใช้ในเล่มนี้ — เจอแบบไหนในข้อสอบก็อ่านเหมือนกัน

✏️ตัวอย่าง

จงหา $A^{T}$ เมื่อ $A = [142536]$

ขั้นที่ 1 $A$ มีมิติ $2 \times 3$ ดังนั้น $A^{T}$ ต้องมีมิติ $3 \times 2$
ขั้นที่ 2แถวที่ $1$ ของ $A$ คือ $1, 2, 3$ ไปเป็นหลักที่ $1$ ของ $A^{T}$
ขั้นที่ 3แถวที่ $2$ ของ $A$ คือ $4, 5, 6$ ไปเป็นหลักที่ $2$ ของ $A^{T}$

ตอบ $A^{T} = 123456$

💡 วิธีตรวจเร็วๆ คือดูสมาชิกบนทแยงมุมหลัก — มันอยู่ที่เดิมเสมอ เพราะ $a_{11}$ สลับแล้วก็ยังเป็น $a_{11}$

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 6 หัวข้อ — อีก 5 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ เมทริกซ์ (มิติ · คูณ · ดีเทอร์มิแนนต์ · ผกผัน · ระบบสมการ) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด