ม.4 · บทที่ 4📊 สถิติและความน่าจะเป็นอ่าน ~24 นาที

ความน่าจะเป็น

ต่อยอดจาก ม.3 — พอมีหลักการนับแล้ว เราคำนวณความน่าจะเป็นของสถานการณ์ที่ซับซ้อนได้ เช่น การจับไพ่ การหยิบลูกบอลหลายลูกพร้อมกัน

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: สถิติและความน่าจะเป็น · ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกได้ว่าแซมเปิลสเปซ $S$ และเหตุการณ์ $E$ คืออะไร และเหตุการณ์เป็นสับเซตของ $S$ อย่างไร
✓ใช้หลักการนับหา $n (S)$ และ $n (E)$ ของสถานการณ์ที่ซับซ้อนได้
✓ใช้กฎการบวกของความน่าจะเป็นได้
✓แยกเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันออกจากเหตุการณ์ทั่วไปได้
✓แก้โจทย์ความน่าจะเป็นที่ต้องหยิบหลายชิ้นพร้อมกัน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

แซมเปิลสเปซsample space

เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เขียนแทนด้วย $S$

เหตุการณ์event

สับเซตของ $S$ — กลุ่มผลลัพธ์ที่เราสนใจ เขียนแทนด้วย $E$

เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันmutually exclusive events

เกิดพร้อมกันไม่ได้ — $A \cap B = \emptyset$

ส่วนเติมเต็มcomplement

เหตุการณ์ที่ $A$ ไม่เกิด เขียน $A^{'}$ — คือคอมพลีเมนต์ที่บทที่ 1 ใช้ เพียงแต่ที่นี่ $A$ เป็นเหตุการณ์แทนที่จะเป็นเซตทั่วไป

4.1 ใช้หลักการนับหาความน่าจะเป็น

ยังเป็นสูตรเดิม แค่หา $n$ ยากขึ้น

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}

$S$ และ $E$ คืออะไร

การทดลองสุ่ม คือการกระทำที่รู้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าจะออกอันไหน (ทอดลูกเต๋า จับไพ่ หยิบลูกบอล) · แซมเปิลสเปซ $S$ คือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด · เหตุการณ์ $E$ คือ สับเซตของ $S$ นั่นคือกลุ่มผลลัพธ์ที่เราสนใจ (บทที่ 1 หัวข้อ 1.3) · ดังนั้น $n (E) \leq n (S)$ เสมอ และ $0 \leq P (E) \leq 1$ เสมอ

🔑สำรับไพ่มาตรฐานหน้าตาอย่างไร

โจทย์ความน่าจะเป็นอ้างถึงสำรับไพ่บ่อยมาก จึงขอบอกไว้ครั้งเดียว — สำรับหนึ่งมี $52$ ใบ แบ่งเป็น $4$ ดอก (โพดำ ♠ · โพแดง ♥ · ดอกจิก ♣ · ข้าวหลามตัด ♦) ดอกละ $13$ ใบ คือ A, $2$ – $10$ , J, Q, K · ดังนั้นแต่ละแต้ม (เช่น K) มี $4$ ใบ และไพ่สีแดง (โพแดง + ข้าวหลามตัด) มี $26$ ใบ เท่ากับไพ่สีดำ

✏️ตัวอย่าง

หยิบลูกบอล $2$ ลูกพร้อมกันจากกล่องที่มีแดง $4$ ลูก น้ำเงิน $6$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แดงทั้งสองลูกเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1หยิบพร้อมกัน → ลำดับไม่สำคัญ → ใช้การจัดหมู่
ขั้นที่ 2 $n (S) = C (10, 2) = 45$
ขั้นที่ 3 $n (E) = C (4, 2) = 6$
ขั้นที่ 4 $P = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

ตอบ $\frac{2}{15}$

💡 ที่ใช้ $C$ ได้ในข้อนี้ ไม่ใช่เพราะเห็นคำว่า “พร้อมกัน” แต่เพราะเป็นการ หยิบของหลายชิ้นออกจากกองเดียวกัน แล้วไม่สนใจว่าหยิบชิ้นไหนก่อน — คำว่า “พร้อมกัน” คำเดียวยังไม่พอตัดสิน (ดูกับดักถัดไป)

✏️ตัวอย่าง

จากกล่องเดิม (แดง $4$ ลูก น้ำเงิน $6$ ลูก) หยิบพร้อมกัน $2$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้คนละสีเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1เลือกแดง $1$ จาก $4$ และน้ำเงิน $1$ จาก $6$
ขั้นที่ 2 $n (E) = C (4, 1) \times C (6, 1) = 4 \times 6 = 24$
ขั้นที่ 3 $P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

ตอบ $\frac{8}{15}$

⚠️“พร้อมกัน” ไม่ได้แปลว่าใช้ $C$ เสมอไป

ทอดลูกเต๋า $2$ ลูกพร้อมกันต้องนับ แบบมีลำดับ คือ $n (S) = 6 \times 6 = 36$ ไม่ใช่นับเป็น “คู่แต้มที่ไม่สนลำดับ” ซึ่งได้ $21$ แบบ — เพราะผลลัพธ์แบบไม่เรียงลำดับของลูกเต๋าสองลูก มีโอกาสเกิดไม่เท่ากัน (ได้ $1$ กับ $2$ เกิดได้สองทาง แต่ได้ $1$ ทั้งสองลูกเกิดได้ทางเดียว) การหาความน่าจะเป็นต้องนับจากผลลัพธ์ที่โอกาสเท่ากัน จึงต้องนับแบบมีลำดับ · เหรียญก็เช่นเดียวกัน (ทบทวนจาก ม.3 เรื่องความน่าจะเป็น)

💡แล้วเมื่อไหร่ถึงใช้ $C$

ใช้ $C$ เมื่อ หยิบของออกจากกองเดียวกันหลายชิ้น แล้วไม่สนใจลำดับที่หยิบ เช่น หยิบลูกบอลจากกล่อง จับไพ่จากสำรับ เลือกตัวแทนจากกลุ่มคน · ส่วนการทอดลูกเต๋าหรือโยนเหรียญไม่ใช่การหยิบของออกจากกอง แต่เป็นการทำ การทดลองหลายอันแยกกัน จึงใช้กฎการคูณ ไม่ใช่ $C$

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 4 หัวข้อ — อีก 3 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ความน่าจะเป็น →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด