จำนวนจริง
จัดระเบียบระบบจำนวนให้ครบ แล้วต่อด้วยเครื่องมือสองอย่างที่ใช้ตลอด ม.ปลาย — ค่าสัมบูรณ์ และ การแก้อสมการด้วยเส้นจำนวน
อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · จำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์ การหารพหุนาม ทฤษฎีบทเศษเหลือ สมการและอสมการพหุนาม (สายเพิ่มเติม)
🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้
- ✓บอกโครงสร้างของระบบจำนวนจริงและจำแนกจำนวนได้
- ✓แก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้
- ✓เขียนคำตอบในรูปช่วงได้
- ✓แก้อสมการพหุนามด้วยวิธีเส้นจำนวนได้
- ✓หาผลหารและเศษเหลือของการหารพหุนาม ทั้งด้วยการหารยาวและการหารสังเคราะห์ได้
- ✓ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษโดยไม่ต้องหารจริง และใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบตรวจตัวประกอบได้
- ✓แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงและแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวได้
- ✓แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนาม พร้อมตรวจคำตอบแปลกปลอมได้
📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท
จำนวนตรรกยะrational number
เขียนเป็น ได้ เมื่อ เป็นจำนวนเต็มและ
จำนวนอตรรกยะirrational number
เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ
ค่าสัมบูรณ์absolute value
ระยะห่างจากศูนย์ — ไม่ติดลบเสมอ
ค่าวิกฤตcritical value
ค่าที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ ใช้แบ่งช่วงบนเส้นจำนวน
เศษเหลือremainder
สิ่งที่เหลือจากการหารพหุนาม · ดีกรีต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวหารเสมอ
การหารสังเคราะห์synthetic division
ทางลัดของการหารยาว ใช้ได้เฉพาะตัวหารรูป — เขียนแต่สัมประสิทธิ์
ทฤษฎีบทเศษเหลือremainder theorem
เศษจากการหารด้วย เท่ากับ — หาได้โดยไม่ต้องหารจริง
ทฤษฎีบทตัวประกอบfactor theorem
เป็นตัวประกอบของ ก็ต่อเมื่อ
คำตอบแปลกปลอมextraneous solution
ค่าที่ได้จากการแก้สมการแต่แทนกลับในสมการเดิมไม่ได้ — เกิดจากการคูณตัวส่วนขึ้นมา
ช่วงinterval
เซตของจำนวนจริงที่ต่อเนื่องกัน เขียนด้วยวงเล็บ
5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง
- •จำนวนจริง = ตรรกยะ อตรรกยะ
- •ตรรกยะ = เขียนเป็น ได้ เมื่อ เป็นจำนวนเต็ม และ → รวมจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำ
- •จำนวนเต็ม =
- •จำนวนนับ =
- •อตรรกยะ = จำนวนจริงที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ เช่น กับ
| ความสัมพันธ์ |
|---|
การซ้อนกันของเซตจำนวน
📎น่ารู้
จำนวนอตรรกยะ ไม่เป็น สับเซตของตรรกยะ — ทั้งสองแยกกันเด็ดขาด (อินเตอร์เซกชันเป็นเซตว่าง) แต่รวมกันได้จำนวนจริงพอดี
| สมบัติ | การบวก | การคูณ |
|---|---|---|
| ปิด | เป็นจำนวนจริง | เป็นจำนวนจริง |
| สลับที่ | ||
| เปลี่ยนหมู่ | ||
| เอกลักษณ์ | ||
| อินเวอร์ส | (เมื่อ ) | |
| แจกแจง | — |
สมบัติของระบบจำนวนจริง — ทำไมบวกลบคูณหารแล้วยังอยู่ในระบบเดิม
จงจำแนกว่าจำนวนต่อไปนี้อยู่ในเซตใดบ้าง: · · · · ·
- ขั้นที่ 1 เป็นจำนวนเต็มลบ → เป็น และ และ (แต่ ไม่ใช่จำนวนนับ)
- ขั้นที่ 2 ทศนิยมรู้จบ → ตรรกยะ
- ขั้นที่ 3 — รากไม่ได้แปลว่าอตรรกยะเสมอ ข้อนี้เป็น จำนวนนับ ด้วยซ้ำ
- ขั้นที่ 4 ถอดรากไม่ลงตัว → อตรรกยะ
- ขั้นที่ 5 เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม → ตรรกยะ (เป็นค่าประมาณของ เฉยๆ ไม่ใช่ )
- ขั้นที่ 6 ทศนิยมซ้ำ → ตรรกยะ
ตอบ อตรรกยะมีตัวเดียวคือ · ที่เหลือเป็นตรรกยะทั้งหมด
💡 กับดักสองข้อที่เจอบ่อยที่สุดอยู่ในข้อนี้แล้ว — เห็นเครื่องหมายรากแล้วรีบตอบว่าอตรรกยะ และ เห็น แล้วนึกว่าเป็น
📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน
ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 10 หัวข้อ — อีก 9 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ
เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท
อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย
โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด
เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด