ม.4 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~28 นาที

จำนวนจริง

จัดระเบียบระบบจำนวนให้ครบ แล้วต่อด้วยเครื่องมือสองอย่างที่ใช้ตลอด ม.ปลาย — ค่าสัมบูรณ์ และ การแก้อสมการด้วยเส้นจำนวน

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · โครงสร้างจำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์ และอสมการ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกโครงสร้างของระบบจำนวนจริงและจำแนกจำนวนได้
✓แก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้
✓เขียนคำตอบในรูปช่วงได้
✓แก้อสมการพหุนามด้วยวิธีเส้นจำนวนได้

📑 หัวข้อในบทนี้

5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง
5.2 ค่าสัมบูรณ์กำลังตรวจทาน
5.3 สมการค่าสัมบูรณ์กำลังตรวจทาน
5.4 อสมการค่าสัมบูรณ์กำลังตรวจทาน
5.5 การเขียนช่วงกำลังตรวจทาน
5.6 อสมการพหุนาม — วิธีเส้นจำนวนกำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

จำนวนตรรกยะrational number

เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ ได้ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$

จำนวนอตรรกยะirrational number

เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

ค่าสัมบูรณ์absolute value

ระยะห่างจากศูนย์ — ไม่ติดลบเสมอ

ค่าวิกฤตcritical value

ค่าที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ ใช้แบ่งช่วงบนเส้นจำนวน

ช่วงinterval

เซตของจำนวนจริงที่ต่อเนื่องกัน เขียนด้วยวงเล็บ

5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

•จำนวนจริง $R$ = ตรรกยะ $\cup$ อตรรกยะ
•ตรรกยะ $Q$ = เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ ได้ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $b \neq = 0$ → รวมจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำ
•จำนวนเต็ม $Z$ = $\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$
•จำนวนนับ $N$ = $1, 2, 3, \dots$
•อตรรกยะ = จำนวนจริงที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ เช่น $2$ กับ $π$

ความสัมพันธ์
$N \subset Z \subset Q \subset R$

การซ้อนกันของเซตจำนวน

📎น่ารู้

จำนวนอตรรกยะ ไม่เป็น สับเซตของตรรกยะ — ทั้งสองแยกกันเด็ดขาด (อินเตอร์เซกชันเป็นเซตว่าง) แต่รวมกันได้จำนวนจริงพอดี

สมบัติ	การบวก	การคูณ
ปิด	$a + b$ เป็นจำนวนจริง	$ab$ เป็นจำนวนจริง
สลับที่	$a + b = b + a$	$ab = ba$
เปลี่ยนหมู่	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(ab) c = a (b c)$
เอกลักษณ์	$a + 0 = a$	$a \cdot 1 = a$
อินเวอร์ส	$a + (- a) = 0$	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (เมื่อ $a \neq = 0$ )
แจกแจง	$a (b + c) = ab + a c$	—

สมบัติของระบบจำนวนจริง — ทำไมบวกลบคูณหารแล้วยังอยู่ในระบบเดิม

✏️ตัวอย่าง

จงจำแนกว่าจำนวนต่อไปนี้อยู่ในเซตใดบ้าง: $- 3$ · $0.25$ · $9$ · $7$ · $\frac{22}{7}$ · $0. 3$

ขั้นที่ 1 $- 3$ เป็นจำนวนเต็มลบ → เป็น $Z$ และ $Q$ และ $R$ (แต่ ไม่ใช่จำนวนนับ)
ขั้นที่ 2 $0.25 = \frac{1}{4}$ ทศนิยมรู้จบ → ตรรกยะ
ขั้นที่ 3 $9 = 3$ — รากไม่ได้แปลว่าอตรรกยะเสมอ ข้อนี้เป็น จำนวนนับ ด้วยซ้ำ
ขั้นที่ 4 $7$ ถอดรากไม่ลงตัว → อตรรกยะ
ขั้นที่ 5 $\frac{22}{7}$ เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม → ตรรกยะ (เป็นค่าประมาณของ $π$ เฉยๆ ไม่ใช่ $π$ )
ขั้นที่ 6 $0. 3 = \frac{1}{3}$ ทศนิยมซ้ำ → ตรรกยะ

ตอบ อตรรกยะมีตัวเดียวคือ $7$ · ที่เหลือเป็นตรรกยะทั้งหมด

💡 กับดักสองข้อที่เจอบ่อยที่สุดอยู่ในข้อนี้แล้ว — เห็นเครื่องหมายรากแล้วรีบตอบว่าอตรรกยะ และ เห็น $\frac{22}{7}$ แล้วนึกว่าเป็น $π$

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 6 หัวข้อ — อีก 5 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ จำนวนจริง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด