เก่งดี
← สารบัญคณิตศาสตร์ ม.4
ม.4 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~48 นาที

จำนวนจริง

จัดระเบียบระบบจำนวนให้ครบ แล้วต่อด้วยเครื่องมือสองอย่างที่ใช้ตลอด ม.ปลาย — ค่าสัมบูรณ์ และ การแก้อสมการด้วยเส้นจำนวน

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · จำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์ การหารพหุนาม ทฤษฎีบทเศษเหลือ สมการและอสมการพหุนาม (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

  • ✓บอกโครงสร้างของระบบจำนวนจริงและจำแนกจำนวนได้
  • ✓แก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้
  • ✓เขียนคำตอบในรูปช่วงได้
  • ✓แก้อสมการพหุนามด้วยวิธีเส้นจำนวนได้
  • ✓หาผลหารและเศษเหลือของการหารพหุนาม ทั้งด้วยการหารยาวและการหารสังเคราะห์ได้
  • ✓ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษโดยไม่ต้องหารจริง และใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบตรวจตัวประกอบได้
  • ✓แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงและแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวได้
  • ✓แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนาม พร้อมตรวจคำตอบแปลกปลอมได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

จำนวนตรรกยะrational number

เขียนเป็น ได้ เมื่อ เป็นจำนวนเต็มและ

จำนวนอตรรกยะirrational number

เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

ค่าสัมบูรณ์absolute value

ระยะห่างจากศูนย์ — ไม่ติดลบเสมอ

ค่าวิกฤตcritical value

ค่าที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ ใช้แบ่งช่วงบนเส้นจำนวน

เศษเหลือremainder

สิ่งที่เหลือจากการหารพหุนาม · ดีกรีต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวหารเสมอ

การหารสังเคราะห์synthetic division

ทางลัดของการหารยาว ใช้ได้เฉพาะตัวหารรูป — เขียนแต่สัมประสิทธิ์

ทฤษฎีบทเศษเหลือremainder theorem

เศษจากการหารด้วย เท่ากับ — หาได้โดยไม่ต้องหารจริง

ทฤษฎีบทตัวประกอบfactor theorem

เป็นตัวประกอบของ ก็ต่อเมื่อ

คำตอบแปลกปลอมextraneous solution

ค่าที่ได้จากการแก้สมการแต่แทนกลับในสมการเดิมไม่ได้ — เกิดจากการคูณตัวส่วนขึ้นมา

ช่วงinterval

เซตของจำนวนจริงที่ต่อเนื่องกัน เขียนด้วยวงเล็บ

5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

  • •จำนวนจริง = ตรรกยะ อตรรกยะ
  • •ตรรกยะ = เขียนเป็น ได้ เมื่อ เป็นจำนวนเต็ม และ → รวมจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำ
  • •จำนวนเต็ม =
  • •จำนวนนับ =
  • •อตรรกยะ = จำนวนจริงที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ เช่น กับ
ความสัมพันธ์

การซ้อนกันของเซตจำนวน

📎น่ารู้

จำนวนอตรรกยะ ไม่เป็น สับเซตของตรรกยะ — ทั้งสองแยกกันเด็ดขาด (อินเตอร์เซกชันเป็นเซตว่าง) แต่รวมกันได้จำนวนจริงพอดี

สมบัติการบวกการคูณ
ปิด เป็นจำนวนจริง เป็นจำนวนจริง
สลับที่
เปลี่ยนหมู่
เอกลักษณ์
อินเวอร์ส (เมื่อ )
แจกแจง—

สมบัติของระบบจำนวนจริง — ทำไมบวกลบคูณหารแล้วยังอยู่ในระบบเดิม

✏️ตัวอย่าง

จงจำแนกว่าจำนวนต่อไปนี้อยู่ในเซตใดบ้าง: · · · · ·

  1. ขั้นที่ 1 เป็นจำนวนเต็มลบ → เป็น และ และ (แต่ ไม่ใช่จำนวนนับ)
  2. ขั้นที่ 2 ทศนิยมรู้จบ → ตรรกยะ
  3. ขั้นที่ 3 — รากไม่ได้แปลว่าอตรรกยะเสมอ ข้อนี้เป็น จำนวนนับ ด้วยซ้ำ
  4. ขั้นที่ 4 ถอดรากไม่ลงตัว → อตรรกยะ
  5. ขั้นที่ 5 เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม → ตรรกยะ (เป็นค่าประมาณของ เฉยๆ ไม่ใช่ )
  6. ขั้นที่ 6 ทศนิยมซ้ำ → ตรรกยะ

ตอบ  อตรรกยะมีตัวเดียวคือ · ที่เหลือเป็นตรรกยะทั้งหมด

💡 กับดักสองข้อที่เจอบ่อยที่สุดอยู่ในข้อนี้แล้ว — เห็นเครื่องหมายรากแล้วรีบตอบว่าอตรรกยะ และ เห็น แล้วนึกว่าเป็น

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 10 หัวข้อ — อีก 9 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ จำนวนจริงและค่าสัมบูรณ์ (ค่าสัมบูรณ์ · ช่วง · อสมการ) →ฝึกโจทย์ การหารพหุนามและทฤษฎีบทเศษเหลือ (หัวข้อ 5.7-5.10) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด