เก่งดี
← สารบัญคณิตศาสตร์ ม.5
ม.5 · เพิ่มเติม📊 สถิติและความน่าจะเป็นอ่าน ~50 นาที

หลักการนับเบื้องต้น

ต่อจากหลักการนับของ ม.4 — ชั้นนี้ทำเรื่องของซ้ำให้เป็นเรื่องเป็นราวพร้อมโจทย์ที่มีเงื่อนไข และเพิ่มสองเรื่องที่สูตรแบบเรียงเป็นแถวใช้ไม่ได้ คือการนั่งเป็นวงกลม และการกระจายกำลังของทวินาม

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: สถิติและความน่าจะเป็น · การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม และทฤษฎีบททวินาม (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

  • ✓นับจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเมื่อมีสิ่งของซ้ำกันได้ รวมทั้งโจทย์ที่มีเงื่อนไขและการนับเส้นทางบนตาราง
  • ✓นับจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมได้ และบอกได้ว่าทำไมจึงเป็น
  • ✓ใช้เทคนิคมัดเป็นก้อนและส่วนเติมเต็มกับโจทย์นั่งรอบวงที่มีเงื่อนไขได้
  • ✓กระจาย ด้วยทฤษฎีบททวินาม และหาพจน์ สัมประสิทธิ์ หรือพจน์ที่ไม่มี โดยไม่ต้องกระจายทั้งหมดได้
  • ✓เลือกใช้สูตรให้ตรงกับลักษณะของโจทย์ได้ และรู้ว่าเมื่อใดสูตรสองสูตรใช้ต่อกันไม่ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นlinear permutation

การเรียงของเป็นแถวตรง ซึ่งตำแหน่งหัวแถวกับท้ายแถวต่างกัน — แบบที่เรียนใน ม.4

สิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดnot all distinct objects

ชุดของที่ มีบางชิ้นซ้ำกัน (ไม่ได้แปลว่าเหมือนกันหมดทุกชิ้น) เช่น ตัวอักษรของคำ MISSISSIPPI

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมcircular permutation

การเรียงของเป็นวง ซึ่ง หมุนแล้วถือว่าเหมือนเดิม จึงมีวิธีน้อยกว่าแบบเรียงแถว

ทฤษฎีบททวินามbinomial theorem

สูตรกระจาย โดยสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์คือจำนวนวิธีจัดหมู่

สัมประสิทธิ์ทวินามbinomial coefficient

ค่า ซึ่งเท่ากับ — ตัวเดียวกับที่ใช้ในการจัดหมู่ · หนังสือเรียนเขียนเป็น ก็ได้ หมายถึงสิ่งเดียวกัน

8.1 ต่อจาก ม.4 — มีอะไรเพิ่มขึ้นมา

🔑สาระสำคัญ

ม.4 บท 3 สอนหลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ และแนะนำสูตรเรียงของซ้ำไว้สั้นๆ · สูตรหลักทั้งหมดตั้งอยู่บนข้อสมมติสองข้อ คือ ของที่นับ ต่างกันทุกชิ้น และเรียงเป็น แถวตรง · ชั้นนี้ปล่อยข้อสมมติทั้งสองข้อ — ข้อแรกกลายเป็น การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด (ของบางชิ้นซ้ำกัน) ข้อหลังกลายเป็น การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

สถานการณ์ถ้าคิดแบบของต่างกันเรียงเป็นแถวความจริง
เรียง ตัวอักษรของคำ “กกขค” แบบ แบบ เพราะ ก สองตัวสลับกันแล้วได้คำเดิม
คนนั่งโต๊ะกลม แบบ แบบ เพราะหมุนโต๊ะแล้วถือว่าเป็นการนั่งแบบเดิม
กระจาย ต้องคูณวงเล็บทีละชั้น ชั้นเขียนพจน์ที่ต้องการได้ทันทีด้วยสูตรเดียว

สามเรื่องของบทนี้ — ถ้าใช้สูตรแถวตรงหรือคูณไปตรงๆ จะได้อะไร

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 5 หัวข้อ — อีก 4 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ หลักการนับ (ของซ้ำ · เชิงวงกลม · ทฤษฎีบททวินาม) — ระดับกลางและยากตรงกับบทนี้ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด