ม.6 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~38 นาที

ปริพันธ์

การหาปริพันธ์คือการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์ — และผลลัพธ์ที่น่าทึ่งคือมันใช้หาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งได้ ทั้งที่ดูเหมือนเป็นคนละเรื่องกันโดยสิ้นเชิง

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ และพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตได้
✓คำนวณปริพันธ์ไม่จำกัดเขตและจำกัดเขตได้
✓ใช้ปริพันธ์หาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งได้
✓แก้โจทย์ประยุกต์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ได้
✓หาพื้นที่เมื่อกราฟมีส่วนที่อยู่ใต้แกน X โดยแยกช่วงที่จุดตัดแกน X และหาจุดตัดแกน X เองเมื่อโจทย์ไม่ให้ช่วงมา
✓หาปริพันธ์ของฟังก์ชันประกอบด้วยการเปลี่ยนตัวแปรได้ (นอกหลักสูตรของชั้นนี้)

📑 หัวข้อในบทนี้

8.1 ปฏิยานุพันธ์ — ย้อนกลับของอนุพันธ์
8.2 ปริพันธ์จำกัดเขตกำลังตรวจทาน
8.3 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกำลังตรวจทาน
8.4 การนำไปใช้กำลังตรวจทาน
8.5 พื้นที่เมื่อกราฟอยู่ใต้แกน X และการหาจุดตัดเองกำลังตรวจทาน
8.6 ปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร (นอกหลักสูตร)กำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ปฏิยานุพันธ์antiderivative

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์แล้วได้ฟังก์ชันเดิม

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตindefinite integral

$\int f (x) d x$ — ได้ผลเป็นฟังก์ชัน + ค่าคงตัว

ปริพันธ์จำกัดเขตdefinite integral

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ — ได้ผลเป็นตัวเลข

ปริพัทธ์integrand

ฟังก์ชัน $f (x)$ ที่อยู่หลังเครื่องหมายปริพันธ์ใน $\int f (x) d x$

ลิมิตล่าง / ลิมิตบนlower / upper limit of integration

ใน $\int_{a}^{b} f (x) d x$ เรียก $a$ ว่าลิมิตล่าง และเรียก $b$ ว่าลิมิตบนของปริพันธ์

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งarea bounded by a curve

พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟ $y = f (x)$ แกน X และเส้นตรง $x = a$ กับ $x = b$

การเปลี่ยนตัวแปร (แทนด้วย $u$)substitution

วิธีหาปริพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ โดยตั้งตัวแปรใหม่ $u$ แทนก้อนข้างใน — เป็นการย้อนกฎลูกโซ่ (นอกหลักสูตรของชั้นนี้)

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสfundamental theorem of calculus

ข้อความที่เชื่อมอนุพันธ์กับปริพันธ์เข้าด้วยกัน ทำให้หาพื้นที่ได้จากปฏิยานุพันธ์

8.1 ปฏิยานุพันธ์ — ย้อนกลับของอนุพันธ์

📎นอกหลักสูตรของชั้นนี้

🔴 เช่นเดียวกับบทอนุพันธ์ — คู่มือครูจำกัดผลการเรียนรู้ของบทนี้ไว้ที่ ปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต · สี่แถวท้ายของตารางข้างล่าง คือ $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , $\int e^{x} d x$ , $\int sin x d x$ และ $\int cos x d x$ จึงเป็น ส่วนเสริมนอกหลักสูตร · คงไว้เพราะข้อสอบ A-Level บางปีมี และเด็กสายวิทย์ต้องใช้ต่อในมหาวิทยาลัย — แต่ถ้าเตรียมสอบตามหลักสูตรอย่างเดียว ใช้แค่ห้าแถวแรก (ค่าคงตัว · กฎกำลัง · ดึงค่าคงตัว · ผลบวก · ผลต่าง) ก็พอ · ⚠️ $\int \frac{1}{x} d x$ ทำด้วยกฎกำลังไม่ได้ เพราะถ้าแทน $n = - 1$ ตัวส่วน $n + 1$ จะเป็นศูนย์ · ปฏิยานุพันธ์ของ $\frac{1}{x}$ คือ $ln ∣ x ∣$ ซึ่งคู่มือครูระบุว่าจะได้เรียนในระดับมหาวิทยาลัย

กฎกำลังของปริพันธ์ (กลับด้านกับอนุพันธ์)

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

🔑ทำไมต้องมี $+ C$

$x^{2}$ , $x^{2} + 5$ , $x^{2} - 100$ ล้วนมีอนุพันธ์เป็น $2 x$ เหมือนกันหมด — ย้อนกลับจึงไม่รู้ว่าค่าคงตัวเดิมคืออะไร ต้องใส่ $+ C$ ไว้เผื่อ · ลืม $+ C$ คือความผิดพลาดคลาสสิกที่สุด

•อนุพันธ์: ลดกำลังลง $1$ · ปริพันธ์: เพิ่มกำลังขึ้น $1$ แล้วหารด้วยกำลังใหม่
•ตรวจคำตอบได้เสมอ — หาอนุพันธ์ของคำตอบแล้วต้องได้โจทย์เดิม

$\int f (x) d x$	ผลลัพธ์
$\int k d x$ ( $k$ เป็นค่าคงตัว)	$k x + C$
$\int x^{n} d x$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int k f (x) d x$	$k \int f (x) d x$
$\int [f (x) + g (x)] d x$	$\int f (x) d x + \int g (x) d x$
$\int [f (x) - g (x)] d x$	$\int f (x) d x - \int g (x) d x$
$\int \frac{1}{x} d x$ (นอกหลักสูตร)	$ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x$ (นอกหลักสูตร)	$e^{x} + C$
$\int cos x d x$ (นอกหลักสูตร)	$sin x + C$
$\int sin x d x$ (นอกหลักสูตร)	$- cos x + C$

สูตรที่ควรจำ

✏️ตัวอย่าง

หา $\int (6 x^{2} - 4 x + 3) d x$

ขั้นที่ 1 $\int 6 x^{2} d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$
ขั้นที่ 2 $\int (- 4 x) d x = - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}$
ขั้นที่ 3 $\int 3 d x = 3 x$
ขั้นที่ 4ใส่ $+ C$

ตอบ $2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

💡 ตรวจ: อนุพันธ์ของ $2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$ คือ $6 x^{2} - 4 x + 3$ ✓ ตรงกับโจทย์

✏️ตัวอย่าง

หา $\int (x^{- 3} + x) d x$ — กฎกำลังใช้ได้กับเลขชี้กำลังที่ติดลบและเป็นเศษส่วนด้วย ขอแค่ไม่ใช่ $- 1$

ขั้นที่ 1เขียนรากเป็นเลขชี้กำลังก่อน: $x = x^{1/2}$
ขั้นที่ 2 $\int x^{- 3} d x = \frac{x ^{- 2}}{- 2} = - \frac{1}{2 x ^{2}}$
ขั้นที่ 3 $\int x^{1/2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$
ขั้นที่ 4รวมกันแล้วใส่ $+ C$

ตอบ $- \frac{1}{2 x ^{2}} + \frac{2}{3} x^{3/2} + C$

💡 ระวังตอนหารด้วยกำลังใหม่ที่ติดลบ — ต้องหารด้วย $- 2$ ไม่ใช่ $2$ · ตรวจ: อนุพันธ์ของ $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ คือ $x^{- 3}$ และของ $\frac{2}{3} x^{3/2}$ คือ $x^{1/2}$ ✓

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 6 หัวข้อ — อีก 5 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ปริพันธ์ (ปฏิยานุพันธ์ · จำกัดเขต · พื้นที่ · เปลี่ยนตัวแปร = นอกหลักสูตร) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด