ม.6 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~40 นาที

อนุพันธ์และการประยุกต์

อนุพันธ์คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง — ในเชิงกราฟคือความชันของเส้นสัมผัส ใช้หาค่าสูงสุด-ต่ำสุด ความเร็ว และการเปลี่ยนแปลงทุกชนิด

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · อนุพันธ์ของฟังก์ชันและการนำไปใช้ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓อธิบายความหมายของอนุพันธ์ทั้งเชิงกราฟและเชิงอัตราการเปลี่ยนแปลง
✓หาอนุพันธ์โดยใช้สูตรและกฎต่างๆ รวมทั้งกฎผลคูณ ผลหาร และกฎลูกโซ่ได้
✓หาสมการเส้นสัมผัสได้
✓แยกค่าสูงสุด-ต่ำสุดแบบสัมพัทธ์กับแบบสัมบูรณ์ได้ และใช้อนุพันธ์หาในโจทย์ประยุกต์ได้ทั้งช่วงเปิดและช่วงปิด
✓หาอนุพันธ์อันดับสูง และใช้หาจุดเปลี่ยนเว้าได้
✓แก้โจทย์อัตราสัมพัทธ์โดยหาอนุพันธ์ทั้งสมการเทียบกับเวลาได้

📑 หัวข้อในบทนี้

7.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และอนุพันธ์คืออะไร
7.2 สูตรและกฎการหาอนุพันธ์กำลังตรวจทาน
7.3 เส้นสัมผัสกำลังตรวจทาน
7.4 ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด (สัมพัทธ์และสัมบูรณ์)กำลังตรวจทาน
7.5 การเคลื่อนที่กำลังตรวจทาน
7.6 อนุพันธ์อันดับสูงและจุดเปลี่ยนเว้ากำลังตรวจทาน
7.7 อัตราสัมพัทธ์กำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

อนุพันธ์derivative

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง เขียน $f^{'} (x)$ หรือ $\frac{d y}{d x}$

เส้นสัมผัสtangent line

เส้นตรงที่แตะกราฟที่จุดหนึ่งด้วยความชันเท่ากับอนุพันธ์

จุดวิกฤตcritical point

จุดที่ $f^{'} (x) = 0$ หรือหาไม่ได้

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ / ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์relative maximum / minimum

ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด เมื่อเทียบกับจุดใกล้เคียงรอบตัวเท่านั้น — เกิดที่จุดวิกฤต

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ / ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์absolute maximum / minimum

ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ของทั้งช่วงที่กำหนด — บนช่วงปิดต้องเทียบปลายช่วงทั้งสองข้างด้วย

อนุพันธ์อันดับสูงhigher-order derivative

อนุพันธ์ของอนุพันธ์ เขียน $f^{''}$ , $f^{'''}$ หรือ $f^{(n)}$

จุดเปลี่ยนเว้าinflection point

จุดที่กราฟเปลี่ยนจากเว้าขึ้นเป็นเว้าลงหรือกลับกัน — หาจาก $f^{''} = 0$ แล้วต้องตรวจว่าเครื่องหมายเปลี่ยนจริง

อัตราสัมพัทธ์related rates

โจทย์ที่ปริมาณสองอย่างผูกกันและเปลี่ยนตามเวลาพร้อมกัน

ฟังก์ชันเพิ่ม / ฟังก์ชันลดincreasing / decreasing

ช่วงที่ $f^{'} (x) > 0$ กราฟขาขึ้น · ช่วงที่ $f^{'} (x) < 0$ กราฟขาลง

เว้าขึ้น / เว้าลงconcave up / concave down

ช่วงที่ $f^{''} (x) > 0$ กราฟโค้งหงายเหมือนก้นกระทะ · ช่วงที่ $f^{''} (x) < 0$ กราฟโค้งคว่ำเหมือนยอดเขา

7.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และอนุพันธ์คืออะไร

🔑ก่อนถึงอนุพันธ์ ต้องผ่านอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยก่อน

ขับรถจากบ้านถึงโรงเรียน $12$ กิโลเมตร ใช้เวลา $20$ นาที — อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย คือ $36$ กม./ชม. · แต่ตัวเลขนี้ไม่ได้บอกว่าตอนผ่านสี่แยกนั้นเร็วเท่าไร · อนุพันธ์คือการบีบช่วงเวลาให้สั้นลงเรื่อยๆ จนได้ความเร็วที่ขณะหนึ่ง

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบนช่วง $[a, b]$

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

ในเชิงกราฟคือ ความชันของเส้นตัดที่ลากผ่านสองจุด $(a, f (a))$ กับ $(b, f (b))$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $f (x) = x^{2}$ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบนช่วง $[1, 3]$ แล้วเทียบกับอนุพันธ์ที่ $x = 1$ และ $x = 3$

ขั้นที่ 1เฉลี่ย $= \frac{f ( 3 ) - f ( 1 )}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$
ขั้นที่ 2อนุพันธ์คือ $f^{'} (x) = 2 x$ จึงได้ $f^{'} (1) = 2$ และ $f^{'} (3) = 6$
ขั้นที่ 3ค่าเฉลี่ย $4$ อยู่ระหว่าง $2$ กับ $6$ พอดี

ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย $= 4$ · ที่ $x = 1$ เป็น $2$ · ที่ $x = 3$ เป็น $6$

💡 🔴 ค่าเฉลี่ยกับค่าขณะหนึ่งไม่เท่ากัน และไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าที่จุดกึ่งกลางด้วย (บังเอิญเท่าในข้อนี้เพราะเป็นพาราโบลา) · โจทย์ที่ถามว่า “ความเร็วเฉลี่ย” กับ “ความเร็วขณะนั้น” เป็นคนละคำถามเสมอ

นิยาม

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

📎อ่านสูตรให้เข้าใจ

$\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ คือ ความชันของเส้นตัดผ่านสองจุด · พอให้ $h$ เล็กลงเรื่อยๆ จนเข้าใกล้ $0$ สองจุดก็ชิดกันจนกลายเป็นจุดเดียว — ได้ความชันของ เส้นสัมผัส ณ จุดนั้น

✏️ตัวอย่าง

หา $f^{'} (x)$ ของ $f (x) = x^{2}$ จากนิยาม (ยังไม่ใช้สูตรลัด)

ขั้นที่ 1 $f (x + h) = (x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$
ขั้นที่ 2 $f (x + h) - f (x) = (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - x^{2} = 2 x h + h^{2}$
ขั้นที่ 3หารด้วย $h$ : $\frac{2 x h + h ^{2}}{h} = \frac{h ( 2 x + h )}{h} = 2 x + h$ (ตัด $h$ ได้ เพราะ $h$ ยังไม่เท่ากับ $0$ — แค่กำลังเข้าใกล้)
ขั้นที่ 4ให้ $h \to 0$ : $2 x + h$ เข้าใกล้ $2 x$

ตอบ $f^{'} (x) = 2 x$

💡 ผลลัพธ์ตรงกับกฎกำลังในหัวข้อ 7.2 พอดี ( $n = 2$ → $2 x^{1}$ ) — สูตรลัดทุกสูตรพิสูจน์มาจากนิยามนี้ ไม่ได้เสกขึ้นมาลอยๆ

บริบท	อนุพันธ์คือ
กราฟ	ความชันของเส้นสัมผัส
ระยะทาง-เวลา	ความเร็ว
ความเร็ว-เวลา	ความเร่ง
ต้นทุน-จำนวนผลิต	ต้นทุนหน่วยสุดท้าย
ทั่วไป	อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

อนุพันธ์ตีความได้หลายแบบ แล้วแต่บริบท

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 7 หัวข้อ — อีก 6 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ อนุพันธ์ (กฎต่างๆ · เส้นสัมผัส · ค่าสูงสุด-ต่ำสุด · อัตราสัมพัทธ์) →ฝึกโจทย์ ทบทวนแคลคูลัสเบื้องต้น →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด