ม.1 · บทที่ 2📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~36 นาที

การสร้างทางเรขาคณิต

เริ่มจากศัพท์พื้นฐาน — จุด เส้นตรง รังสี และชนิดของมุมรวมถึงมุมกลับ แล้วจึงสร้างรูปเรขาคณิตด้วยวงเวียนกับสันตรงเท่านั้น ห้ามใช้ไม้บรรทัดวัดและห้ามใช้ไม้โพรแทรกเตอร์ — ทุกการสร้างมีเหตุผลรองรับว่าทำไมจึงถูกต้อง

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · รูปเรขาคณิตพื้นฐาน และการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตด้วยวงเวียนและสันตรง

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกความหมายของจุด เส้นตรง ระนาบ ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม พร้อมเขียนสัญลักษณ์ได้ถูกต้อง
✓เรียกชื่อมุมด้วยตัวอักษรสามตัวโดยวางจุดยอดไว้ตรงกลางได้
✓จำแนกชนิดของมุมได้ครบทุกชนิด รวมทั้งมุมกลับและมุมรอบจุด
✓ใช้วงเวียนและสันตรงสร้างส่วนของเส้นตรง มุม เส้นตั้งฉาก และเส้นขนานได้
✓คัดลอกมุมขนาดใดก็ได้ไปยังจุดใหม่ และนำไปใช้สร้างเส้นขนาน
✓แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงและแบ่งครึ่งมุมได้
✓สร้างเส้นตั้งฉากได้ทั้งสามแบบ (ที่จุดกึ่งกลาง · จากจุดภายนอก · ที่จุดบนเส้น)
✓อธิบายเหตุผลว่าทำไมวิธีสร้างนั้นจึงได้รูปที่ต้องการ

📑 หัวข้อในบทนี้

2.1 รูปเรขาคณิตพื้นฐาน
2.2 กติกาของการสร้างกำลังตรวจทาน
2.3 สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่าที่กำหนดกำลังตรวจทาน
2.4 แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง และสร้างเส้นตั้งฉากสามแบบกำลังตรวจทาน
2.5 แบ่งครึ่งมุมกำลังตรวจทาน
2.6 สร้างมุมขนาดที่ต้องการกำลังตรวจทาน
2.7 สร้างเส้นขนานกำลังตรวจทาน
2.8 การนำไปใช้ — สร้างรูปสามเหลี่ยมกำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

อนิยามundefined term

คำที่ไม่ให้นิยามแต่ตกลงกันว่าเข้าใจตรงกัน — เรขาคณิตมี $3$ คำ คือ จุด เส้นตรง ระนาบ

รังสีray

ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดเริ่มข้างเดียว อีกข้างยาวไม่สิ้นสุด · $A B$ กับ $B A$ คนละเส้นกัน

มุมกลับreflex angle

มุมที่ใหญ่กว่า $18 0^{\circ}$ แต่เล็กกว่า $36 0^{\circ}$ — คือมุมด้านนอกที่คนมักลืมนับ

มุมรอบจุดangle around a point

มุมที่หมุนครบรอบ เท่ากับ $36 0^{\circ}$

สันตรงstraightedge

ไม้บรรทัดที่ใช้ลากเส้นตรงเท่านั้น ไม่ใช้อ่านค่าความยาว

วงเวียนcompass

เครื่องมือเขียนส่วนโค้ง/วงกลม และถ่ายทอดความยาว

เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากperpendicular bisector

เส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง

2.1 รูปเรขาคณิตพื้นฐาน

🔑ทำไมต้องเริ่มที่หัวข้อนี้

ทั้งบทนี้พูดถึง “ส่วนของเส้นตรง” “รังสี” และ “มุม” ตลอดเวลา ถ้ายังเรียกชื่อและเขียนสัญลักษณ์ไม่ตรงกัน คำสั่งของโจทย์กับสิ่งที่เราวาดจะเป็นคนละอย่างทันที

อนิยาม

คำที่เรา ไม่ให้นิยาม แต่ตกลงกันว่าเข้าใจตรงกัน เพราะถ้าจะนิยามก็ต้องใช้คำอื่นอธิบาย แล้วคำอื่นนั้นก็ต้องนิยามต่อไม่จบ · เรขาคณิตเลือกไว้ $3$ คำคือ จุด · เส้นตรง · ระนาบ แล้วสร้างคำอื่นทั้งหมดต่อจากสามคำนี้

•จุด — บอกตำแหน่ง ไม่มีความกว้าง ไม่มีความยาว · จุดที่เราเขียนบนกระดาษเป็นแค่รอยแทนจุดจริง
•เส้นตรง — ยาวไม่สิ้นสุดทั้งสองข้าง ไม่มีความหนา · ที่วาดได้จริงคือส่วนหนึ่งของมันเท่านั้น
•ระนาบ — พื้นผิวราบที่แผ่ออกไม่สิ้นสุด · หน้ากระดาษคือส่วนหนึ่งของระนาบ

ชื่อ	สัญลักษณ์	ความหมาย
จุด $A$	$A$	ตำแหน่งหนึ่งตำแหน่ง
เส้นตรง $A B$	$A B$	ยาวไม่สิ้นสุดทั้งสองข้าง
ส่วนของเส้นตรง $A B$	$A B$	มีจุดปลายทั้งสองข้าง วัดความยาวได้
รังสี $A B$	$A B$	เริ่มที่ $A$ แล้วยาวไม่สิ้นสุดผ่าน $B$
มุม $A B C$	$∠ A B C$	รังสีสองเส้นที่ออกจากจุดเดียวกันคือ $B$

ศัพท์ที่นิยามจากอนิยามสามคำ พร้อมสัญลักษณ์ที่ต้องอ่านออก

⚠️รังสี $A B$ กับ รังสี $B A$ ไม่ใช่อันเดียวกัน

ตัวอักษรตัวแรกคือ จุดเริ่ม เสมอ · $A B$ เริ่มที่ $A$ พุ่งไปทาง $B$ ส่วน $B A$ เริ่มที่ $B$ พุ่งไปทาง $A$ ซึ่งเป็นคนละรังสีกัน · แต่ $A B$ กับ $B A$ เป็นอันเดียวกัน เพราะส่วนของเส้นตรงมีจุดปลายครบทั้งสองข้างอยู่แล้ว

มุม $ABC$ — จุด $B$ คือจุดยอด ส่วนรังสี $BA$ กับรังสี $BC$ คือแขนของมุม

💡กติกาการเรียกชื่อมุมสามตัวอักษร

จุดยอดต้องอยู่ตรงกลางเสมอ · มุมในรูปข้างบนเรียกได้ทั้ง $∠ A B C$ และ $∠ C B A$ เพราะ $B$ อยู่กลางทั้งคู่ · จะเรียกสั้นว่า $∠ B$ ก็ได้ เฉพาะเมื่อที่จุด $B$ มีมุมเดียว ถ้ามีหลายมุมมารวมกันที่จุดเดียว การเรียกว่า $∠ B$ จะกำกวมทันที

ชนิดของมุม	ขนาด	จำง่าย
มุมแหลม	$0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}$	แคบกว่ามุมฉาก
มุมฉาก	$x = 9 0^{\circ}$	ใช้สัญลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมเล็กแทนส่วนโค้ง
มุมป้าน	$9 0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$	กว้างกว่ามุมฉากแต่ยังไม่เป็นเส้นตรง
มุมตรง	$x = 18 0^{\circ}$	แขนสองข้างเรียงเป็นเส้นตรงเดียวกัน
มุมกลับ	$18 0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$	มุมด้าน “นอก” ที่คนมักลืมนับ
มุมรอบจุด	$x = 36 0^{\circ}$	หมุนครบรอบกลับมาที่เดิม

ชนิดของมุมแบ่งตามขนาด

รังสีคู่เดียวกันให้มุมสองมุม — ด้านในเป็นมุมป้าน $110^{\circ}$ ส่วนด้านนอกเป็นมุมกลับ $250^{\circ}$

⚠️จุดที่พลาดกันมากที่สุดของหัวข้อนี้

รังสีสองเส้นจากจุดเดียวกัน สร้างมุมขึ้นสองมุมพร้อมกันเสมอ ไม่ใช่มุมเดียว · มุมด้านในกับมุมกลับด้านนอกรวมกันได้ $36 0^{\circ}$ เสมอ · เวลาโจทย์สั่งว่า “เขียนชื่อมุมทั้งหมดในรูป” ต้องนับมุมกลับด้วย ไม่งั้นจะตอบขาดไปครึ่งหนึ่ง

✏️ตัวอย่าง

รังสี $O P$ กับรังสี $O Q$ ทำมุมด้านในกัน $7 2^{\circ}$ จงหาขนาดของมุมกลับที่เกิดจากรังสีคู่เดียวกันนี้ และบอกว่ามุมแต่ละมุมเป็นมุมชนิดใด

ขั้นที่ 1มุมด้านในกับมุมกลับรวมกันเป็นมุมรอบจุด คือ $36 0^{\circ}$
ขั้นที่ 2มุมกลับ $= 36 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 28 8^{\circ}$
ขั้นที่ 3 $7 2^{\circ}$ อยู่ระหว่าง $0^{\circ}$ กับ $9 0^{\circ}$ จึงเป็นมุมแหลม
ขั้นที่ 4 $28 8^{\circ}$ อยู่ระหว่าง $18 0^{\circ}$ กับ $36 0^{\circ}$ จึงเป็นมุมกลับ

ตอบ มุมกลับ $= 28 8^{\circ}$ · มุมด้านในเป็นมุมแหลม มุมด้านนอกเป็นมุมกลับ

💡 ตรวจคำตอบเร็วๆ ด้วยการบวกกลับ — ถ้าสองมุมรวมกันไม่ได้ $36 0^{\circ}$ แสดงว่าคิดผิดแน่นอน

✏️ตัวอย่าง

จากรูปที่มีรังสี $O A$ , $O B$ และ $O C$ ออกจากจุด $O$ โดย $∠ A O B = 4 0^{\circ}$ และ $∠ B O C = 6 5^{\circ}$ (รังสี $O B$ อยู่ระหว่างอีกสองรังสี) จงหา $∠ A O C$

ขั้นที่ 1รังสี $O B$ อยู่ระหว่าง จึงแบ่ง $∠ A O C$ ออกเป็นสองมุมที่ติดกัน
ขั้นที่ 2 $∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C$
ขั้นที่ 3 $= 4 0^{\circ} + 6 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$

ตอบ $∠ A O C = 10 5^{\circ}$ เป็นมุมป้าน

💡 ข้อนี้เรียก $∠ O$ ไม่ได้เลย เพราะที่จุด $O$ มีมุมให้เลือกถึงสามมุม — เป็นเหตุผลที่กติกาสามตัวอักษรมีอยู่

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 8 หัวข้อ — อีก 7 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ การสร้างทางเรขาคณิต →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด