ม.6 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~46 นาที

ลำดับและอนุกรมอนันต์

ต่อจาก ม.5 — คราวนี้ถามว่า “ถ้าบวกไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด จะได้ค่าอะไร” คำตอบต้องอาศัยแนวคิด ลิมิต ซึ่งเป็นประตูสู่แคลคูลัสในสามบทถัดไป และเป็นเครื่องมือที่อธิบายได้ในที่สุดว่าทำไมทศนิยมซ้ำถึงเป็นเศษส่วนเสมอ

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ลิมิตของลำดับ การลู่เข้า-ลู่ออก และอนุกรมอนันต์ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓อธิบายความหมายของลิมิตของลำดับ และบอกได้ว่าลำดับหนึ่งลู่เข้าหรือลู่ออก
✓หาลิมิตของลำดับที่เป็นเศษส่วนพหุนามได้ทั้งสามกรณีของดีกรี
✓บอกได้ว่าลำดับเรขาคณิต $r^{n}$ ลู่เข้าหรือลู่ออกเมื่อ $r$ เป็นค่าใด
✓อธิบายผลบวกอนันต์ผ่านลิมิตของผลบวกย่อยได้
✓อ่านและเขียนอนุกรมอนันต์ด้วยสัญลักษณ์ $\sum$ ได้
✓หาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่ลู่เข้าได้ และรู้ว่าเมื่อใดใช้สูตรไม่ได้
✓ใช้การทดสอบพจน์ที่ $n$ ตัดสินว่าอนุกรมลู่ออกได้ และรู้ข้อจำกัดของมัน (ส่วนเสริม)
✓แปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนด้วยอนุกรมเรขาคณิตได้ ทั้งแบบซ้ำล้วนและแบบมีส่วนไม่ซ้ำนำหน้า

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลิมิตของลำดับlimit of a sequence

ค่าที่พจน์ของลำดับเข้าใกล้เมื่อ $n$ โตขึ้นไม่จำกัด

ลู่เข้าconverge

เข้าใกล้ค่าจำกัดค่าหนึ่งเมื่อ $n$ โตขึ้นเรื่อยๆ

ลู่ออกdiverge

ไม่เข้าใกล้ค่าจำกัดใดๆ — อาจโตไม่หยุด หรือแกว่งไปมาก็ได้

ผลบวกย่อยpartial sum

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ — ผลบวกที่หยุดไว้ที่พจน์ที่ $n$

อนุกรมอนันต์infinite series

ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ในลำดับอนันต์ นิยามเป็น $lim_{n \to \infty} S_{n}$

อนุกรมโทรทรรศน์telescoping series

อนุกรมที่พจน์กลางตัดกันหมดเมื่อบวกเรียง เหลือแค่หัวกับท้าย

อนุกรมฮาร์มอนิกharmonic series

อนุกรม $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ (ผลบวกของลำดับฮาร์มอนิก $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ ) — ตัวอย่างสำคัญของอนุกรมที่พจน์เข้าใกล้ศูนย์แต่ลู่ออก · ⚠️ อย่าสับสนกับ ลำดับฮาร์มอนิก ที่หนังสือเรียนนิยามไว้ (ลำดับที่ส่วนกลับเป็นลำดับเลขคณิต) ซึ่งลำดับ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ ลู่เข้าที่ $0$ · อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นส่วนเสริมนอกหลักสูตร

5.1 ลิมิตของลำดับ

ความหมาย

n \to \infty lim a_{n} = L

อ่านว่า เมื่อ $n$ โตขึ้นไม่จำกัด พจน์ $a_{n}$ เข้าใกล้ $L$ · คำว่า “เข้าใกล้” หมายถึงเข้าใกล้ได้ ใกล้เท่าที่ต้องการ ถ้ายอมไปดูพจน์ที่ไกลพอ — ไม่ได้แปลว่าต้องไปถึง $L$ จริงๆ

ลำดับ	พจน์แรกๆ	พฤติกรรม	สรุป
$a_{n} = \frac{1}{n}$	$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$	เข้าใกล้ $0$	ลู่เข้า ที่ $0$
$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots$	เข้าใกล้ $1$	ลู่เข้า ที่ $1$
$a_{n} = n$	$1, 2, 3, 4, \dots$	โตไม่หยุด	ลู่ออก (โตไม่จำกัด)
$a_{n} = (- 1)^{n}$	$- 1, 1, - 1, 1, \dots$	สลับไปมา ไม่เข้าใกล้อะไร	ลู่ออก (แกว่ง)

ลำดับลู่ออกมีได้สองแบบ — แยกให้ออกด้วย

🔑สาระสำคัญ

สังเกตแถวที่สี่ให้ดี — “ลู่ออก” ไม่ได้แปลว่า “โตไม่มีที่สิ้นสุด” เสมอไป · $(- 1)^{n}$ มีค่าอยู่ระหว่าง $- 1$ กับ $1$ ตลอด ไม่ได้โตขึ้นเลย แต่ก็ไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง จึงถือว่าลู่ออก · นิยามของการลู่เข้าคือ เข้าใกล้ค่าเดียว ไม่ใช่ “มีขอบเขต”

ลิมิตพื้นฐานที่ใช้ทั้งบท (หนังสือเรียนเรียกว่าทฤษฎีบท 1)

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{r}} = 0 และ n^{r} ลู่ออก เมื่อ r > 0

เช่น $\frac{1}{n} \to 0$ · $\frac{1}{n ^{2}} \to 0$ · $\frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{1/2}} \to 0$ · ส่วน $n$ , $n^{2}$ , $n$ โตไม่จำกัดจึงลู่ออก · เหตุผล: เมื่อ $n$ โตขึ้น $n^{r}$ ก็โตขึ้นไม่จำกัดด้วย ส่วนกลับของมันจึงหดเข้าหา $0$

📎ลำดับฮาร์มอนิก — ชื่อที่หนังสือเรียนนิยามไว้

ลำดับฮาร์มอนิก คือลำดับที่ ส่วนกลับของมันเป็นลำดับเลขคณิต · เช่น $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ มีส่วนกลับเป็น $1, 2, 3, 4, \dots$ ซึ่งเป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม $1$ · สังเกตว่าไม่มีพจน์ใดเป็นศูนย์ได้ เพราะศูนย์ไม่มีส่วนกลับ · ลำดับนี้ ลู่เข้าที่ $0$ (ตามทฤษฎีบทข้างบนเมื่อ $r = 1$ ) · ⚠️ อย่าสับสนกับ อนุกรมฮาร์มอนิก $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ ในหัวข้อ 5.2 (กล่องนอกหลักสูตร) ซึ่งเป็นผลบวกของลำดับนี้ และ ลู่ออก

สมบัติของลิมิต (ใช้ได้เมื่อทั้งสองลำดับลู่เข้า)

lim (a_{n} \pm b_{n}) = lim a_{n} \pm lim b_{n} lim (a_{n} b_{n}) = lim a_{n} \cdot lim b_{n}

และ $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{lim a _{n}}{lim b _{n}}$ เมื่อ $b_{n} \neq = 0$ ทุกพจน์และ $lim b_{n} \neq = 0$ · ลิมิตของราก: ถ้า $a_{n} \geq 0$ ทุกพจน์และ $lim a_{n} = L$ แล้ว $lim a_{n} = L$ (รากที่ $m$ อื่นๆ ก็เช่นเดียวกัน) · ⚠️ สมบัติเหล่านี้ ใช้ไม่ได้ถ้าตัวใดตัวหนึ่งลู่ออก — เป็นที่มาของความผิดพลาดที่พบบ่อยในหัวข้อนี้

⚠️ทำไมต้องลู่เข้าทั้งคู่ — ตัวอย่างค้าน

ให้ $a_{n} = n$ และ $b_{n} = - n$ · จะได้ $a_{n} + b_{n} = 0$ ทุกพจน์ ดังนั้น $lim (a_{n} + b_{n}) = 0$ · แต่จะแยกเป็น $lim a_{n} + lim b_{n}$ ไม่ได้ เพราะทั้ง $a_{n}$ และ $b_{n}$ ลู่ออก ไม่มีลิมิตให้นำมาบวกกัน · ถ้าเปลี่ยนเป็น $b_{n} = - n + 5$ ผลบวกจะเข้าใกล้ $5$ แทน — ลำดับลู่ออกสองลำดับบวกกันแล้วได้ค่าใดก็ได้ จึงต้องจัดรูปให้เป็นลำดับที่ลู่เข้าก่อนเสมอ

💡เทคนิคหาลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

หารทุกพจน์ทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $n$ กำลังสูงสุดที่อยู่ในตัวส่วน แล้วใช้ทฤษฎีบทข้างบนว่า $\frac{1}{n ^{r}} \to 0$ · วิธีนี้ได้ผลเพราะเปลี่ยนพจน์ที่โตไม่หยุดให้กลายเป็นพจน์ที่เข้าใกล้ศูนย์ ทำให้ใช้สมบัติข้างบนได้

✏️ตัวอย่าง

หา $lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 1}{2 n - 5}$

ขั้นที่ 1กำลังสูงสุดในตัวส่วนคือ $n$ จึงหารทุกพจน์ด้วย $n$ : $\frac{3 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{5}{n}}$
ขั้นที่ 2เมื่อ $n \to \infty$ จะได้ $\frac{1}{n} \to 0$ และ $\frac{5}{n} \to 0$
ขั้นที่ 3 $\to \frac{3 + 0}{2 - 0}$

ตอบ $\frac{3}{2}$

เทียบดีกรี	ลิมิต	ตัวอย่าง
ดีกรีตัวเศษ น้อยกว่า ตัวส่วน	$0$	$\frac{2 n + 3}{n ^{2} + 1} \to 0$
ดีกรีตัวเศษ เท่ากับ ตัวส่วน	สัมประสิทธิ์นำของตัวเศษหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวส่วน	$\frac{3 n + 1}{2 n - 5} \to \frac{3}{2}$
ดีกรีตัวเศษ มากกว่า ตัวส่วน	ลู่ออก (ขนาดโตไม่จำกัด)	$\frac{n ^{2} + 1}{n + 2}$ ลู่ออก

ทางลัดของเศษส่วนพหุนาม — ดูที่ดีกรีอย่างเดียวก็ตอบได้

ใช้พิสูจน์กรณีดีกรีตัวเศษมากกว่าตัวส่วน (หนังสือเรียนเรียกว่าทฤษฎีบท 4)

a_{n} \neq = 0 ทุกพจน์ และ n \to \infty lim \frac{1}{a _{n}} = 0 \Rightarrow a_{n} ลู่ออก

ตัวอย่าง $a_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n + 2}$ ในแถวสุดท้ายของตาราง: พจน์ไม่เป็นศูนย์เลย และส่วนกลับ $\frac{n + 2}{n ^{2} + 1}$ มีดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน จึงเข้าใกล้ $0$ ตามแถวแรก · สรุปได้ว่า $a_{n}$ ลู่ออก · หลักคิด: ถ้าส่วนกลับหดเข้าหาศูนย์ ตัวมันเองก็ต้องมีขนาดโตไม่จำกัด

ลิมิตของลำดับเรขาคณิต

n \to \infty lim r^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 01 ลู่ออก ∣ r ∣ < 1 r = 1 ∣ r ∣ > 1 หรือ r = - 1

ข้อนี้คือหัวใจของทั้งบท — เงื่อนไข $∣ r ∣ < 1$ ของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ในหัวข้อถัดไป มาจากบรรทัดแรกของสูตรนี้ตรงๆ

✏️ตัวอย่าง

หา $lim_{n \to \infty} (n^{2} + n - n)$

ขั้นที่ 1แยกเป็น $lim n^{2} + n - lim n$ ไม่ได้ เพราะทั้งสองลำดับลู่ออก — นี่คือเหตุที่แยกลิมิตไม่ได้ ตามตัวอย่างค้านข้างบน · ถ้าแทน $n$ ที่มากๆ ก็ได้รูป “อนันต์ลบอนันต์” ซึ่งยังบอกค่าไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน
ขั้นที่ 2คูณด้วยสังยุค $\frac{n ^{2} + n + n}{n ^{2} + n + n}$ (แบบเดียวกับการคูณ $(a + b) (a - b)$ เพื่อกำจัดราก ซึ่งบทจำนวนเชิงซ้อน ม.5 ก็ใช้หลักเดียวกัน)
ขั้นที่ 3ตัวเศษกลายเป็น $(n^{2} + n) - n^{2} = n$ จึงได้ $\frac{n}{n ^{2} + n + n}$
ขั้นที่ 4หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $n$ (ใช้ $\frac{n ^{2} + n}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ เพราะ $n > 0$ ): ได้ $\frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1}$
ขั้นที่ 5ตามลิมิตของราก $1 + \frac{1}{n} \to 1 = 1$ ทุกส่วนลู่เข้าแล้วจึงใช้สมบัติผลหารได้: $\to \frac{1}{1 + 1}$

ตอบ $\frac{1}{2}$

💡 รูปที่แทนค่าตรงๆ ไม่ได้ (เช่น อนันต์ลบอนันต์ หรือ อนันต์หารอนันต์) เรียกว่า รูปแบบยังไม่กำหนด (ศัพท์เสริม ไม่มีในหนังสือเรียนบทนี้) — เจอเมื่อไรแปลว่าต้องจัดรูปก่อน ไม่ใช่แปลว่าไม่มีคำตอบ · เรื่องนี้จะกลับมาอีกในบทที่ 6 ลิมิตและความต่อเนื่อง

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 3 หัวข้อ — อีก 2 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ลำดับและอนุกรมอนันต์ (ลิมิต · ลู่เข้า-ลู่ออก · ทศนิยมซ้ำ) →ฝึกโจทย์ ทบทวนลำดับและอนุกรมจำกัด (ม.5) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด