ม.6 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~20 นาที

ลำดับและอนุกรมอนันต์

ต่อจาก ม.5 — คราวนี้ถามว่า “ถ้าบวกไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด จะได้ค่าอะไร” คำตอบคือแนวคิด ลิมิต ซึ่งเป็นประตูสู่แคลคูลัส

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ลิมิตของลำดับ การลู่เข้า และอนุกรมอนันต์ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาลิมิตของลำดับและบอกได้ว่าลู่เข้าหรือลู่ออก
✓หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้าได้
✓แปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนด้วยอนุกรมเรขาคณิตได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลู่เข้าconverge

เข้าใกล้ค่าจำกัดค่าหนึ่งเมื่อ $n$ โตขึ้นเรื่อยๆ

ลู่ออกdiverge

ไม่เข้าใกล้ค่าจำกัดใดๆ

3.1 ลิมิตของลำดับ

ความหมาย

n \to \infty lim a_{n} = L

อ่านว่า เมื่อ $n$ โตขึ้นไม่จำกัด $a_{n}$ เข้าใกล้ $L$

•ลำดับ $\frac{1}{n}$ : $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ → เข้าใกล้ $0$ · ลู่เข้า
•ลำดับ $n$ : $1, 2, 3, \dots$ → โตไม่หยุด · ลู่ออก
•ลำดับ $(- 1)^{n}$ : $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ → สลับไปมา ไม่เข้าใกล้อะไร · ลู่ออก

💡เทคนิคหาลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

หารทุกพจน์ด้วย $n$ กำลังสูงสุดที่อยู่ในตัวส่วน แล้วใช้ข้อเท็จจริงว่า $\frac{1}{n} \to 0$

✏️ตัวอย่าง

หา $lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 1}{2 n - 5}$

ขั้นที่ 1หารทุกพจน์ด้วย $n$ : $\frac{3 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{5}{n}}$
ขั้นที่ 2เมื่อ $n \to \infty$ : $\frac{1}{n} \to 0$ และ $\frac{5}{n} \to 0$
ขั้นที่ 3 $\to \frac{3 + 0}{2 - 0}$

ตอบ $\frac{3}{2}$

💡 ทางลัด: ถ้าดีกรีบนเท่าล่าง ลิมิตคือ อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ — บนน้อยกว่าล่างได้ $0$ · บนมากกว่าล่างลู่ออก

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 3 หัวข้อ — อีก 2 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ลำดับและอนุกรมอนันต์ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด