ม.6 · บทที่ 3📊 สถิติและความน่าจะเป็นอ่าน ~100 นาที

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ

สถิติฉบับสมบูรณ์ — นอกจากค่ากลางและควอร์ไทล์ที่เคยเรียน ยังเพิ่มส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งเป็นเครื่องมือวัดการกระจายที่ใช้จริงมากที่สุดในงานวิจัยและธุรกิจ สัมประสิทธิ์การแปรผันที่ใช้เทียบการกระจายข้ามชุดข้อมูล และคะแนนมาตรฐาน (ส่วนเสริมจากรายวิชาเพิ่มเติม) · บทนี้ครอบการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วย ทั้งตารางความถี่ แผนภาพจุด แผนภาพลำต้นและใบ ฮิสโทแกรม แผนภาพกล่อง และแผนภาพการกระจาย

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: สถิติและความน่าจะเป็น · ม.6 พื้นฐาน: การนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยตารางความถี่และแผนภาพ ค่ากลาง ค่าวัดตำแหน่งที่ ค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์และค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์ · ม.6 เพิ่มเติม: คะแนนมาตรฐาน (หัวข้อ 3.5 · อยู่ในบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาค่ากลางทุกชนิด รวมทั้งค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักและค่าเฉลี่ยรวมของหลายกลุ่มได้
✓หาค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล (ควอร์ไทล์และเปอร์เซ็นไทล์ · เดไซล์เป็นส่วนเสริม) ด้วยสูตรตำแหน่งของระดับชั้นนี้ได้
✓บอกได้ว่าวิธีหาควอร์ไทล์ของ ม.6 ต่างจาก ม.3 อย่างไร และให้คำตอบต่างกันเพราะอะไร
✓คำนวณค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์ ได้แก่ พิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้
✓แยกสูตรของประชากรกับของตัวอย่างได้ และบอกเหตุผลของการหารด้วย $n - 1$ ได้
✓บอกผลของการบวกหรือคูณค่าคงตัวกับข้อมูลทุกตัว ที่มีต่อค่ากลางและการกระจายได้
✓ใช้คะแนนมาตรฐาน (z-score) เปรียบเทียบข้อมูลต่างชุด และหาค่าข้อมูลย้อนกลับจาก z ได้ (ส่วนเสริมจากรายวิชาเพิ่มเติม)
✓คำนวณสัมประสิทธิ์การแปรผัน (ค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์) และใช้เทียบการกระจายข้ามชุดข้อมูลที่ขนาดต่างกันได้
✓อ่านแผนภาพจุดและแผนภาพลำต้นและใบ แล้วบอกมัธยฐาน ควอร์ไทล์ และลักษณะการกระจายของข้อมูลได้
✓สร้างและอ่านตารางความถี่ที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น พร้อมหาขอบชั้น ความกว้างของอันตรภาคชั้น ความถี่สัมพัทธ์ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ได้
✓อ่านฮิสโทแกรมและบอกความสัมพันธ์ของค่ากลางจากรูปทรงของการแจกแจงได้
✓เขียนและอ่านแผนภาพกล่อง พร้อมหาค่านอกเกณฑ์ด้วยเกณฑ์ $1.5 \times IQR$ ได้
✓อ่านแผนภาพการกระจายของสองตัวแปร และอธิบายได้ว่าความสัมพันธ์ไม่ได้แปลว่าเป็นเหตุเป็นผล
✓อ่านรายงานสถิติอย่างมีวิจารณญาณ และรู้กับดักที่พบบ่อยได้

📑 หัวข้อในบทนี้

3.1 ค่ากลาง (ทบทวนและขยาย)
3.2 ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูลกำลังตรวจทาน
3.3 การวัดการกระจายกำลังตรวจทาน
3.4 ค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์กำลังตรวจทาน
3.5 คะแนนมาตรฐาน (z-score)กำลังตรวจทาน
3.6 ทบทวนแผนภาพจุด และแผนภาพลำต้นและใบกำลังตรวจทาน
3.7 ตารางความถี่และอันตรภาคชั้นกำลังตรวจทาน
3.8 ฮิสโทแกรมกำลังตรวจทาน
3.9 แผนภาพกล่องกำลังตรวจทาน
3.10 แผนภาพการกระจายของสองตัวแปรกำลังตรวจทาน
3.11 การแปลความและกับดักกำลังตรวจทาน

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ประชากรpopulation

ข้อมูลทั้งหมดที่สนใจ ใช้สัญลักษณ์ $μ$ กับ $σ$ และหารด้วย $N$

ตัวอย่างsample

ข้อมูลบางส่วนที่สุ่มมาจากประชากร ใช้สัญลักษณ์ $x ˉ$ กับ $s$ และหารด้วย $n - 1$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักweighted mean

ค่าเฉลี่ยที่ให้ความสำคัญแต่ละค่าไม่เท่ากัน

เปอร์เซ็นไทล์percentile

ค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น $100$ ส่วนเท่าๆ กัน — $P_{r}$ คือค่าที่มีข้อมูลอยู่ต่ำกว่าประมาณ $r$ เปอร์เซ็นต์

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์interquartile range (IQR)

$Q_{3} - Q_{1}$ — ช่วงที่ข้อมูลตรงกลาง $50%$ กระจายอยู่ · ทนค่าสุดโต่ง

ความแปรปรวนvariance

ความแปรปรวนของประชากรคือค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะที่ข้อมูลห่างจากค่าเฉลี่ย · ของตัวอย่างหารผลรวมด้วย $n - 1$ แทน $N$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานstandard deviation

รากที่สองของความแปรปรวน เขียนแทนด้วย $s$ หรือ $σ$ · มีหน่วยเดียวกับข้อมูล

คะแนนมาตรฐานz-score

บอกว่าข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (เนื้อหารายวิชาเพิ่มเติม)

สัมประสิทธิ์การแปรผันcoefficient of variation

$\frac{s}{x ˉ}$ หรือ $\frac{σ}{μ}$ (จะคูณ $100%$ ให้อ่านเป็นร้อยละก็ได้) — ค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์ที่ไม่มีหน่วย จึงเทียบข้ามชุดได้

อันตรภาคชั้นclass interval

ช่วงที่ใช้ยุบข้อมูลเชิงปริมาณให้อ่านภาพรวมได้

ความถี่สะสมสัมพัทธ์cumulative relative frequency

ร้อยละของข้อมูลที่มีค่าไม่เกินขอบบนของชั้นนั้น — สะสมตั้งแต่ชั้นแรก แถวสุดท้ายจึงเป็น $100%$

แผนภาพลำต้นและใบstem-and-leaf plot

แยกตัวเลขเป็นลำต้น (หลักหน้า) กับใบ (หลักท้าย) · ยังเห็นข้อมูลดิบทุกตัว (ม.2 เรียกย่อว่าแผนภาพต้น-ใบ)

ฮิสโทแกรมhistogram

แผนภูมิแท่งที่ แท่งติดกัน ใช้กับข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น

แผนภาพกล่องbox plot

สรุปข้อมูลด้วยห้าค่า และแยกค่านอกเกณฑ์ออกมาเป็นจุด

แผนภาพการกระจายscatter plot

วางจุดของสองตัวแปรพร้อมกัน เพื่อดูทิศทางความสัมพันธ์

ค่านอกเกณฑ์outlier

ค่าที่ห่างจากกลุ่มมากผิดปกติ — ดึงค่าเฉลี่ยกับพิสัยให้เพี้ยนได้มาก

3.1 ค่ากลาง (ทบทวนและขยาย)

ค่ากลาง	สูตรหรือวิธี	เหมาะกับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	$x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}$	ข้อมูลไม่มีค่าสุดโต่ง · ใช้ต่อยอดคำนวณได้
มัธยฐาน	ค่าตรงกลางหลังเรียงข้อมูล	ข้อมูลเบ้ หรือมีค่าสุดโต่ง
ฐานนิยม	ค่าที่พบบ่อยที่สุด	ข้อมูลเชิงคุณภาพ (สี ยี่ห้อ อาชีพ)

ค่ากลางสามชนิดและงานที่มันเหมาะ

🔑สาระสำคัญ

ค่าเฉลี่ยเป็นค่ากลางตัวเดียวที่ ใช้ข้อมูลทุกตัว จึงเอาไปคำนวณต่อได้ (ความแปรปรวนกับคะแนนมาตรฐานในหัวข้อถัดๆ ไปสร้างบนค่าเฉลี่ยทั้งหมด) — แต่นั่นก็เป็นจุดอ่อนของมันด้วย เพราะ ค่าสุดโต่งตัวเดียวก็ลากค่าเฉลี่ยไปได้ไกล ในขณะที่มัธยฐานแทบไม่ขยับ · หมายเหตุศัพท์: สสวท. เรียกชื่อเต็มว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หนังสือเล่มนี้เขียนย่อว่า “ค่าเฉลี่ย” เมื่อไม่กำกวม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

x ˉ_{w} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}

ใช้เมื่อแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน · สังเกตว่าตัวส่วนคือ ผลรวมของน้ำหนัก ไม่ใช่จำนวนข้อมูล

✏️ตัวอย่าง

นักเรียนได้คะแนน: สอบกลางภาค $70$ (น้ำหนัก $30%$ ) · สอบปลายภาค $80$ (น้ำหนัก $50%$ ) · งาน $90$ (น้ำหนัก $20%$ ) คะแนนรวมเท่าใด

ขั้นที่ 1 $x ˉ_{w} = \frac{70 ( 30 ) + 80 ( 50 ) + 90 ( 20 )}{30 + 50 + 20}$
ขั้นที่ 2 $= \frac{2100 + 4000 + 1800}{100} = \frac{7900}{100}$

ตอบ $79$ คะแนน

💡 อย่าเฉลี่ยธรรมดา $(70 + 80 + 90) \div 3 = 80$ — จะได้คำตอบผิด เพราะแต่ละส่วนมีน้ำหนักไม่เท่ากัน · ได้ $79$ ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยธรรมดา ( $80$ ) เพราะส่วนที่ได้ $70$ มีน้ำหนัก $30%$ มากกว่าส่วนที่ได้ $90$ ซึ่งมีน้ำหนัก $20%$

ค่าเฉลี่ยรวมของหลายกลุ่ม

x ˉ_{รวม} = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}

เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักที่ใช้ จำนวนคนของแต่ละกลุ่ม เป็นน้ำหนัก · หลักคิดคือ $n x ˉ$ คือผลรวมของกลุ่มนั้น จึงเอาผลรวมมารวมกันแล้วหารด้วยจำนวนคนทั้งหมด

✏️ตัวอย่าง

ห้อง A มี $20$ คน ได้คะแนนเฉลี่ย $72$ · ห้อง B มี $30$ คน ได้คะแนนเฉลี่ย $82$ จงหาคะแนนเฉลี่ยของทั้งสองห้องรวมกัน

ขั้นที่ 1ผลรวมคะแนนห้อง A $= 20 \times 72 = 1, 440$
ขั้นที่ 2ผลรวมคะแนนห้อง B $= 30 \times 82 = 2, 460$
ขั้นที่ 3 $x ˉ_{รวม} = \frac{1 , 440 + 2 , 460}{20 + 30} = \frac{3 , 900}{50}$

ตอบ $78$ คะแนน

💡 คนที่ตอบ $77$ คือคนที่เฉลี่ยสองค่าเฉลี่ยตรงๆ $(\frac{72 + 82}{2})$ — ใช้ไม่ได้เพราะจำนวนคนไม่เท่ากัน · คำตอบต้องเอนไปทางห้องที่คนเยอะกว่าเสมอ ( $78$ ใกล้ $82$ มากกว่า $72$ )

📝 เนื้อหาเต็มของบทนี้กำลังตรวจทาน

ตอนนี้เปิดให้อ่านแล้ว 1 หัวข้อจากทั้งหมด 11 หัวข้อ — อีก 10 หัวข้อ พร้อมตัวอย่างแก้ทีละขั้น สรุปสูตรท้ายบท ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และแบบเช็กตัวเอง จะเปิดให้อ่านเมื่อตรวจทานเสร็จ

เราตรวจทุกสูตรและทุกตัวอย่างก่อนเผยแพร่ เพราะเนื้อหาผิดหนึ่งบรรทัด อาจทำให้คุณจำผิดไปทั้งบท

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ วิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ (ค่ากลาง · ค่าวัดตำแหน่งที่ · การกระจาย · คะแนนมาตรฐาน) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยเก่งดี อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด